(6 pontos) Uma barra fina e homogênea, de Massa M e comprimento L, está centrada na origem e colocada sobre o eixo x. O campo gravitacional que a barra produz em um ponto qualquer do eixo x, na região em que x>L / 2 é dado pela expressão -\frac{G M}{x^{2}-(L / 2)^{2}} \hat{i}, onde \hat{i} é o vetor unitário na direção x. Se uma partícula de massa m é colocada num ponto qualquer x>L / 2, atuará sobre ela uma força dada por:
a) +\frac{G M m}{x^{2}-(L / 2)^{2}} \hat{i}
b) +\frac{G M}{x^{2}-(L / 2)^{2}} \hat{i}
c) -\frac{G M m}{x^{2}-(L / 2)^{2}} \hat{i}
d) -\frac{G M}{x^{2}-(L / 2)^{2}} \hat{i}
e) +\frac{G M m}{L^{2}-(L / 2)^{2}} \hat{i}

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado informa que a barra fina e homogênea, de massa \,M e comprimento \,L, está centrada na origem e que o campo gravitacional (campo gravitacional produzido pela barra) numa posição qualquer do eixo x, na região onde x>L/2, é
\mathbf{g}(x) = -\frac{G M}{x^{2}-(L/2)^{2}}\\ \hat{i}.
  • Foi colocada uma partícula de massa \,m em um ponto com x>L/2.
  • A pergunta: qual é a força que atuará sobre essa partícula? (Fornecem cinco alternativas entre as quais escolher.)
Informações relevantes que extraí:
  • A função dada é o campo gravitacional \mathbf{g}(x) (campo, ou aceleração gravitacional), não a força.
  • A posição do ponto está na região x>L/2, então o denominador \,x^{2}-(L/2)^{2} é positivo.
  • O vetor unitário \hat{i} aponta no sentido positivo do eixo x.

Passo 2

Conceito-chave: relação entre campo gravitacional e força sobre uma massa.
  • O campo gravitacional \mathbf{g} numa posição é definido como a força gravitacional por unidade de massa colocada ali. Em forma de fórmula:
\mathbf{g} = \frac{\mathbf{F}}{m},
onde \mathbf{F} é a força que age sobre uma massa de prova m colocada no ponto considerado.
  • Reorganizando para achar a força a partir do campo:
\mathbf{F} = m\,\mathbf{g}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathbf{F} é a força vetorial (unidade: newton, \mathrm{N}).
  • m é a massa da partícula (unidade: quilograma, \mathrm{kg}).
  • \mathbf{g} é o campo gravitacional (unidade: \mathrm{m/s^{2}}, já que \mathbf{F}/m tem essas unidades).
  • Intuição prática: o campo diz “quanta aceleração um quilograma sofreria ali”; para uma massa m, multiplica-se por m para obter a força total.

Passo 3

Aplicando a relação \mathbf{F}=m\,\mathbf{g} ao campo fornecido.
  • O enunciado deu \mathbf{g}(x) = -\dfrac{G M}{x^{2}-(L/2)^{2}}\\ \hat{i}. Multiplicando por m:
\mathbf{F}(x) = m\\ \mathbf{g}(x) = m\left(-\frac{G M}{x^{2}-(L/2)^{2}}\\ \hat{i}\right).
  • Simplificando a expressão:
\mathbf{F}(x) = -\frac{G M m}{x^{2}-(L/2)^{2}}\\ \hat{i}.

Passo 4

Interpretação do sinal e da direção (por que o sinal é negativo?).
  • O sinal negativo na expressão de \mathbf{g} indica que o campo aponta para o sentido negativo de x (isto é, em direção ao centro da barra, que está na origem). Física: a gravidade atrai a partícula em direção à barra, então se a partícula está em x>0 a força aponta para a esquerda (sentido -\hat{i}).
  • Como \,m>0, ao multiplicar por m o sinal permanece negativo, então a força está realmente no sentido -\hat{i}.
  • O denominador \,x^{2}-(L/2)^{2} é positivo para x>L/2, portanto a magnitude da força é positiva e a direção é dada pelo sinal negativo.

Passo 5

Comparação com as alternativas fornecidas.
  • A alternativa (a) tem o sinal positivo e inclui o fator m: não confere com nosso resultado (sinal errado).
  • A alternativa (b) tem sinal positivo e sem m: sinal e falta de m errados.
  • A alternativa (c) é -\dfrac{G M m}{x^{2}-(L / 2)^{2}} \hat{i}, que coincide exatamente com a expressão que obtivemos.
  • A alternativa (d) tem o sinal negativo mas falta o fator m: está incompleta (campo, não força).
  • A alternativa (e) tem denominador errado e sinal positivo: está claramente incorreta.
Portanto, a alternativa que corresponde à força sobre a partícula é a letra c.

Resposta

c) -\dfrac{G M m}{x^{2}-(L / 2)^{2}}\\ \hat{i}

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