(6 pontos) Uma barra fina e homogênea, de Massa
e comprimento
, está centrada na origem e colocada sobre o eixo
. O campo gravitacional que a barra produz em um ponto qualquer do eixo
, na região em que
é dado pela expressão
, onde
é o vetor unitário na direção
. Se uma partícula de massa
é colocada num ponto qualquer
, atuará sobre ela uma força dada por:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede.
- O enunciado informa que a barra fina e homogênea, de massa
e comprimento , está centrada na origem e que o campo gravitacional (campo gravitacional produzido pela barra) numa posição qualquer do eixo , na região onde , é
- Foi colocada uma partícula de massa
em um ponto com . - A pergunta: qual é a força que atuará sobre essa partícula? (Fornecem cinco alternativas entre as quais escolher.)
Informações relevantes que extraí:
- A função dada é o campo gravitacional
(campo, ou aceleração gravitacional), não a força. - A posição do ponto está na região
, então o denominador é positivo. - O vetor unitário
aponta no sentido positivo do eixo .
Passo 2
Conceito-chave: relação entre campo gravitacional e força sobre uma massa.
- O campo gravitacional
numa posição é definido como a força gravitacional por unidade de massa colocada ali. Em forma de fórmula:
onde
é a força que age sobre uma massa de prova
colocada no ponto considerado.
- Reorganizando para achar a força a partir do campo:
Explicando cada símbolo:
-
é a força vetorial (unidade: newton, ). -
é a massa da partícula (unidade: quilograma, ). -
é o campo gravitacional (unidade: , já que tem essas unidades). - Intuição prática: o campo diz “quanta aceleração um quilograma sofreria ali”; para uma massa
, multiplica-se por para obter a força total.
Passo 3
Aplicando a relação
ao campo fornecido.
- O enunciado deu
. Multiplicando por :
- Simplificando a expressão:
Passo 4
Interpretação do sinal e da direção (por que o sinal é negativo?).
- O sinal negativo na expressão de
indica que o campo aponta para o sentido negativo de (isto é, em direção ao centro da barra, que está na origem). Física: a gravidade atrai a partícula em direção à barra, então se a partícula está em a força aponta para a esquerda (sentido ). - Como
, ao multiplicar por o sinal permanece negativo, então a força está realmente no sentido . - O denominador
é positivo para , portanto a magnitude da força é positiva e a direção é dada pelo sinal negativo.
Passo 5
Comparação com as alternativas fornecidas.
- A alternativa (a) tem o sinal positivo e inclui o fator
: não confere com nosso resultado (sinal errado). - A alternativa (b) tem sinal positivo e sem
: sinal e falta de errados. - A alternativa (c) é
, que coincide exatamente com a expressão que obtivemos. - A alternativa (d) tem o sinal negativo mas falta o fator
: está incompleta (campo, não força). - A alternativa (e) tem denominador errado e sinal positivo: está claramente incorreta.
Portanto, a alternativa que corresponde à força sobre a partícula é a letra c.
Resposta
c)