(6 pontos) Segundo uma das leis de Kepler, um planeta em sua órbita em torno do Sol descreve “áreas iguais em tempos iguais”. Uma das implicações dessa lei é a de que . . .
a) Em regiões mais próximas ao Sol a velocidade do planeta é menor.
b) A velocidade de qualquer planeta em torno do Sol é sempre a mesma.
c) Em regiðes mais próximas ao Sol a velocidade do planeta é maior.
d) Somente a velocidade do planeta Terra é constante em torno do Sol já que sua trajetória é circular.
e) Planetas maiores têm velocidades maiores que planetas menores.

Passo 1

O enunciado diz que “um planeta em sua órbita em torno do Sol descreve ‘áreas iguais em tempos iguais’”. Pede para escolher, entre cinco alternativas (a–e), qual é a implicação correta dessa afirmação. As alternativas são:
a) Em regiões mais próximas ao Sol a velocidade do planeta é menor.
b) A velocidade de qualquer planeta em torno do Sol é sempre a mesma.
c) Em regiões mais próximas ao Sol a velocidade do planeta é maior.
d) Somente a velocidade do planeta Terra é constante em torno do Sol já que sua trajetória é circular.
e) Planetas maiores têm velocidades maiores que planetas menores.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A única informação física dada é que “áreas iguais em tempos iguais” são percorridas pelo raio-vetor que liga o Sol ao planeta.
  • Não há dados numéricos, a questão é de interpretação qualitativa dessa propriedade.

Passo 2

O que significa “áreas iguais em tempos iguais” de forma instantânea? Pense no movimento do planeta em pequenos intervalos de tempo \Delta t. Se, durante um intervalo pequeno, o raio- -vetor do Sol ao planeta tem comprimento r e o planeta se desloca uma pequena distância, a área desse triângulo aproximado é \tfrac{1}{2} r \times (\text{deslocamento perpendicular}).
Tomando o limite infinitesimal, a taxa de variação da área (areal velocity) é dada por
\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\,r\,v_\perp,
onde:
  • \dfrac{dA}{dt} é a rapidez com que a área é varrida (área por unidade de tempo),
  • r é a distância do planeta ao Sol no instante considerado,
  • v_\perp é a componente da velocidade do planeta perpendicular ao raio- -vetor (ou seja, a componente que realmente “varre” área).
A hipótese do enunciado é que \dfrac{dA}{dt} é constante (a mesma para quaisquer intervalos iguais de tempo).

Passo 3

Como \dfrac{dA}{dt} é constante, da fórmula \dfrac{dA}{dt}=\dfrac{1}{2}r v_\perp obtemos que r e v_\perp são inversamente proporcionais: se r diminui, v_\perp deve aumentar para manter \dfrac{dA}{dt} constante; se r aumenta, v_\perp deve diminuir.
Isso dá a interpretação direta: quando o planeta está mais próximo do Sol (menor r), ele deve se deslocar mais rápido perpendicularmente ao raio para varrer a mesma área em igual tempo. Quando está mais longe (maior r), a velocidade perpendicular é menor.
Para ver com números simples: suponha \dfrac{dA}{dt}=K. Então
v_\perp=\frac{2K}{r}.
Se r for reduzido à metade, v_\perp dobra. Isso mostra claramente que menor distância implica maior velocidade (da componente que importa para varrer área).

Passo 4

Comentando as alternativas usando o raciocínio acima:
  • a) “Em regiões mais próximas ao Sol a velocidade do planeta é menor.” — contradiz a relação v_\perp\propto1/r. Portanto está errada.
  • b) “A velocidade de qualquer planeta em torno do Sol é sempre a mesma.” — também falsa: somente em órbitas perfeitamente circulares a velocidade (magnitude) pode ser constante; na maioria das órbitas elípticas a velocidade varia conforme r muda.
  • c) “Em regiões mais próximas ao Sol a velocidade do planeta é maior.” — isso é exatamente o que decorre de \dfrac{dA}{dt}= const e da fórmula acima. Correta.
  • d) “Somente a velocidade do planeta Terra é constante em torno do Sol já que sua trajetória é circular.” — afirmação falsa por dois motivos: (i) a Terra não tem órbita exatamente circular (é quase elíptica) e (ii) nada na lei implica que apenas a Terra teria velocidade constante; além disso, a lei é geral para qualquer planeta.
  • e) “Planetas maiores têm velocidades maiores que planetas menores.” — incorreto: o tamanho/massa do planeta, em primeira aproximação de dois corpos (Sol + planeta), não determina a velocidade orbital — o que importa é a distância ao Sol e a massa central. Em órbitas circulares a velocidade é \displaystyle v=\sqrt{\frac{GM}{r}} (onde M é a massa do Sol e G a constante gravitacional), notando que a massa do planeta não aparece nessa expressão.

Passo 5

Conclusão clara: a implicação correta da propriedade “áreas iguais em tempos iguais” é que o planeta move-se mais rápido quando está mais próximo do Sol e mais devagar quando está mais distante. Essa ideia é exatamente a alternativa c).
Força extra de ânimo: é um raciocínio simples quando se traduz a frase geométrica em \dfrac{dA}{dt}=\tfrac{1}{2}r v_\perp — já estás no caminho certo!

Resposta

c)

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