pontos
Um besouro, iniciando no ponto
da hélice
, sobe pela hélice por uma distância de 10 unidades. Quais são as coordenadas finais do besouro?
Passo 1
O enunciado dá a hélice parametrizada
e diz que o besouro inicia no ponto
— que é um ponto da hélice — e sobe pela hélice por uma distância de
unidades. A pergunta é: quais são as coordenadas finais do besouro depois de percorrer essa distância ao longo da hélice?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A curva é
. - O ponto inicial é
. - A distância percorrida ao longo da curva é
.
Passo 2
Primeiro passo lógico: identificar o parâmetro inicial
correspondente ao ponto
. Verificamos
. Logo o besouro começa em
.
Para relacionar distância percorrida ao parâmetro usamos a fórmula do comprimento de arco de uma curva parametrizada: se
é a posição em função de
, a distância (comprimento de arco) de
até
é
Para relacionar distância percorrida ao parâmetro
onde
é a derivada de
(velocidade) e
é a sua norma (velocidade escalar, isto é, rapidez).
Passo 3
Calculemos a derivada
. Derivando componente a componente:
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é .
Logo
Passo 4
Agora calculamos a norma de
:
Usamos a identidade trigonométrica
. Portanto
Observe que a rapidez é constante igual a
: isso simplifica muito o cálculo do comprimento de arco.
Passo 5
O comprimento de arco desde
até
é
Queremos que essa distância seja
. Assim
Passo 6
Agora avaliamos a posição final em
. As componentes finais são