(2,0 pontos ) Um besouro, iniciando no ponto (1,0,0) da hélice r(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t), sobe pela hélice por uma distância de 10 unidades. Quais são as coordenadas finais do besouro?

Passo 1

O enunciado dá a hélice parametrizada
r(t)=(\cos t,\;\sin t,\;t)
e diz que o besouro inicia no ponto (1,0,0) — que é um ponto da hélice — e sobe pela hélice por uma distância de 10 unidades. A pergunta é: quais são as coordenadas finais do besouro depois de percorrer essa distância ao longo da hélice?
Informações relevantes dadas:
  • A curva é r(t)=(\cos t,\sin t,t).
  • O ponto inicial é (1,0,0).
  • A distância percorrida ao longo da curva é 10.

Passo 2

Primeiro passo lógico: identificar o parâmetro inicial t_0 correspondente ao ponto (1,0,0). Verificamos r(0)=(\cos 0,\sin 0,0)=(1,0,0). Logo o besouro começa em t_0=0.
Para relacionar distância percorrida ao parâmetro t usamos a fórmula do comprimento de arco de uma curva parametrizada: se r(t) é a posição em função de t, a distância (comprimento de arco) de t=a até t=b é
s=\int_{a}^{b}\|r'(t)\|\,dt,
onde r'(t) é a derivada de r (velocidade) e \|r'(t)\| é a sua norma (velocidade escalar, isto é, rapidez).

Passo 3

Calculemos a derivada r'(t). Derivando componente a componente:
  • derivada de \cos t é -\sin t,
  • derivada de \sin t é \cos t,
  • derivada de t é 1.
Logo
r'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;1).

Passo 4

Agora calculamos a norma de r'(t):
\|r'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2} =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+1}.
Usamos a identidade trigonométrica \sin^2 t+\cos^2 t=1. Portanto
\|r'(t)\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Observe que a rapidez é constante igual a \sqrt{2}: isso simplifica muito o cálculo do comprimento de arco.

Passo 5

O comprimento de arco desde t=0 até t=T é
s=\int_{0}^{T}\|r'(t)\|\,dt=\int_{0}^{T}\sqrt{2}\,dt=\sqrt{2}\,T.
Queremos que essa distância seja s=10. Assim
\sqrt{2}\,T=10 \quad\Rightarrow\quad T=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}.

Passo 6

Agora avaliamos a posição final em t=T=5\sqrt{2}. As componentes finais são
x=\cos(5\sqrt{2}),\qquad y=\sin(5\sqrt{2}),\qquad z=5\sqrt{2}.

Resposta

(\cos(5\sqrt{2}),\sin(5\sqrt{2}),5\sqrt{2})

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