(2,0 pontos ) As superfícies de equações
F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2=0 \quad \text { e } \quad G(x, y, z)=x^{2}+2 x+y^{2}-4=0
têm como interseção uma curva C que passa pelo ponto P_{0}=(1,1,1). Encontre as taxas de variação de F e G na direção de um vetor tangente a C em P_{0}.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies e a curva de interseção e pede as taxas de variação de F e G na direção de um vetor tangente a essa curva em P_{0}.
Informações fornecidas:
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2=0,
G(x,y,z)=x^{2}+2x+y^{2}-4=0,
o ponto P_{0}=(1,1,1) pertence à curva de interseção C.
O que é pedido:
  • A taxa de variação de F na direção de um vetor tangente a C em P_{0}.
  • A taxa de variação de G na direção de um vetor tangente a C em P_{0}.

Passo 2

Ideia fundamental (cadeia e derivada direcional): se \mathbf{r}(t) é uma parametrização suave da curva C tal que \mathbf{r}(t_{0})=P_{0} e \mathbf{r}'(t_{0})=\mathbf{v} é um vetor tangente a C em P_{0}, então, como F é constante igual a zero ao longo da curva (pois pontos de C satisfazem F=0), vale
\frac{d}{dt}F(\mathbf{r}(t))\Big|_{t=t_{0}}=0.
Pelo teorema da derivada de uma composição (regra da cadeia multidimensional), temos
\frac{d}{dt}F(\mathbf{r}(t))\Big|_{t=t_{0}}=\nabla F(P_{0})\cdot \mathbf{r}'(t_{0})=\nabla F(P_{0})\cdot \mathbf{v}.
Portanto \nabla F(P_{0})\cdot \mathbf{v}=0. Isso significa que a derivada direcional de F na direção \mathbf{v} é zero. Aqui eu dou uma mini-aula:
  • \nabla F (gradiente) é o vetor das derivadas parciais de F: ele aponta na direção de maior crescimento de F.
  • A derivada direcional de F na direção unitária \hat{\mathbf{u}} é \nabla F\cdot\hat{\mathbf{u}}. Se usarmos vetor não unitário \mathbf{v}, a taxa ao longo do parâmetro é \nabla F\cdot\mathbf{v}.

Passo 3

Aplicando o mesmo raciocínio para G: ao longo de C temos G(\mathbf{r}(t))=0 para todo t, logo
\frac{d}{dt}G(\mathbf{r}(t))\Big|_{t=t_{0}}=\nabla G(P_{0})\cdot \mathbf{v}=0.
Assim a derivada direcional de G na direção de qualquer vetor tangente \mathbf{v} a C em P_{0} também é zero.

Passo 4

Para ficar bem concreto — e para praticar cálculo de gradiente e ver que tudo bate — calculamos explicitamente os gradientes em P_{0}.
Cálculo do gradiente de F:
\nabla F(x,y,z)=\big(2x,\,2y,\,2z\big),
portanto em P_{0}=(1,1,1)
\nabla F(P_{0})=(2,2,2).
Cálculo do gradiente de G:
\nabla G(x,y,z)=\big(2x+2,\,2y,\,0\big),
portanto em P_{0}=(1,1,1)
\nabla G(P_{0})=(4,2,0).
Um vetor tangente \mathbf{v} à curva de interseção é qualquer vetor ortogonal a ambos os gradientes (pois a tangente pertence ao plano tangente comum). Podemos obter um vetor tangente pelo produto vetorial:
\mathbf{v}=\nabla F(P_{0})\times \nabla G(P_{0}).
Calculando:
\mathbf{v}=(2,2,2)\times(4,2,0)=(-4,\,8,\,-4),
que é proporcional a (-1,2,-1). Agora verificamos as derivadas direcionais (produto escalar):
Produto escalar com \nabla F(P_{0}):
\nabla F(P_{0})\cdot \mathbf{v}=(2,2,2)\cdot(-4,8,-4)=-8+16-8=0.
Produto escalar com \nabla G(P_{0}):
\nabla G(P_{0})\cdot \mathbf{v}=(4,2,0)\cdot(-4,8,-4)=-16+16+0=0.
Esses zeros confirmam o resultado teórico: as taxas de variação de F e G ao longo de qualquer vetor tangente à curva C em P_{0} são nulas.

Passo 5

Conclusão rápida e ânimo: como F e G são constantes (valem zero) ao longo da curva C, você pode sempre usar o argumento da cadeia que leva a \nabla F\cdot \mathbf{v}=0 e \nabla G\cdot \mathbf{v}=0. Fiz também a conta explícita com um vetor tangente produzido pelo produto vetorial para você ver as contas batendo. Vai dar certo na prova — respira fundo e confia!

Resposta

Taxa de variação de F na direção tangente a C em P_{0}: 0.
Taxa de variação de G na direção tangente a C em P_{0}: 0.

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