(2,0 pontos ) Encontre a derivada f_{x}(0,0) caso exista, sendo
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cll} \frac{x y}{y-x^{3}}, & \text { se } & (x, y) \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x y}{y-x^{3}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para encontrar a derivada parcial f_{x}(0,0), caso exista.
Informações relevantes: a função está bem definida fora da origem por \displaystyle \frac{x y}{y-x^{3}} e vale 0 na origem. A pergunta é apenas sobre a derivada parcial em x no ponto (0,0).]

Passo 2

Vamos lembrar a definição de derivada parcial em x no ponto (0,0). A derivada parcial f_{x}(0,0) é o limite
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}.
Aqui a ideia é variar a coordenada x (vamos chamar essa variação de h) mantendo y fixo em 0. No numerador temos a diferença das imagens pela função, no denominador a variação h. Se esse limite existir e for finito, dizemos que f_{x}(0,0) existe e vale esse valor.

Passo 3

Calculemos f(h,0) quando h\neq 0. Usando a fórmula para (x,y)\neq(0,0) com x=h e y=0 temos
f(h,0)=\frac{h\cdot 0}{0-h^{3}}=\frac{0}{-h^{3}}.
O denominador -h^{3} é diferente de zero para h\neq 0, então a expressão é bem definida e igual a
f(h,0)=0\qquad\text{para todo }h\neq 0.

Passo 4

Agora colocamos isso na diferença quociente da definição:
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0\qquad\text{para todo }h\neq 0.
Como a expressão do quociente é identicamente 0 para todos os h\neq 0, o limite quando h\to 0 é simplesmente 0.

Passo 5

Portanto o limite que define a derivada parcial existe e vale 0. Concluímos que f_{x}(0,0)=0. (Observação amiga: não confundas derivada parcial com diferenciabilidade total — aqui mostramos só que a derivada parcial em x existe e é 0.)

Resposta

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