e pede para encontrar a derivada parcial f_{x}(0,0), caso exista.
Informações relevantes: a função está bem definida fora da origem por \displaystyle \frac{x y}{y-x^{3}} e vale 0 na origem. A pergunta é apenas sobre a derivada parcial em x no ponto (0,0).]
Passo 2
Vamos lembrar a definição de derivada parcial em x no ponto (0,0). A derivada parcial f_{x}(0,0) é o limite
Aqui a ideia é variar a coordenada x (vamos chamar essa variação de h) mantendo y fixo em 0. No numerador temos a diferença das imagens pela função, no denominador a variação h. Se esse limite existir e for finito, dizemos que f_{x}(0,0) existe e vale esse valor.
Passo 3
Calculemos f(h,0) quando h\neq 0. Usando a fórmula para (x,y)\neq(0,0) com x=h e y=0 temos
f(h,0)=\frac{h\cdot 0}{0-h^{3}}=\frac{0}{-h^{3}}.
O denominador -h^{3} é diferente de zero para h\neq 0, então a expressão é bem definida e igual a
f(h,0)=0\qquad\text{para todo }h\neq 0.
Passo 4
Agora colocamos isso na diferença quociente da definição:
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0\qquad\text{para todo }h\neq 0.
Como a expressão do quociente é identicamente 0 para todos os h\neq 0, o limite quando h\to 0 é simplesmente 0.
Passo 5
Portanto o limite que define a derivada parcial existe e vale 0. Concluímos que f_{x}(0,0)=0. (Observação amiga: não confundas derivada parcial com diferenciabilidade total — aqui mostramos só que a derivada parcial em x existe e é 0.)