1. (2.5 pontos)
No Brasil, os chuveiros elétricos funcionam tirando proveito do chamado Efeito Joule, que é a potência dissipada por uma resistência quando percorrida por uma corrente elétrica.
Considere que, em uma manhã de inverno, a água entra em un chuveiro residencial a uma temperatura de 12^{\circ} \mathrm{C} e que o aparelho opera com uma vazão constante de 4 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. Assumindo que toda a potência elétrica dissipada pelo resistor seja integralmente convertida em calor para o aquecimento da água, responda aos itens a seguir.
Dados: Considere a densidade da água \rho=1,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{L} e o seu calor específico c=4186 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right).
Dica: Q=m c \Delta T.
(a) (1.0 pontos) Determine a potência elétrica mínima necessária que o chuveiro deve dissipar para ser capaz de entregar a água à temperatura de 38^{\circ} \mathrm{C} (modo “Quente”).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Temperatura de entrada da água: 12^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura desejada na saída (modo “Quente”): 38^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão volumétrica constante: 4\\ \mathrm{L/min}.
  • Densidade da água: \rho=1{,}0\\ \mathrm{kg/L}.
  • Calor específico da água: c=4186\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
  • Suposição dada: toda a potência elétrica dissipada é convertida em calor para a água (eficiência 100\%).
O que o problema pede:
  • (a) Determinar a potência elétrica mínima que o chuveiro deve dissipar para elevar a água de 12^\circ\mathrm{C} para 38^\circ\mathrm{C} com a vazão dada.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • A energia térmica necessária para aquecer uma massa m de água que sofre uma variação de temperatura \Delta T é dada por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde Q é a energia em joules, m é a massa em quilogramas, c é o calor específico em \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot{^\circ\mathrm{C}}) e \Delta T é a variação de temperatura em graus Celsius.
  • Potência é energia por unidade de tempo. Para um fluxo contínuo de água usamos a vazão mássica \dot m (massa por segundo) e obtemos a potência necessária
P = \dot m\, c\, \Delta T,
onde P está em watts ( \mathrm{W}), porque \mathrm{W}=\mathrm{J}/\mathrm{s}.
  • Como o enunciado fornece vazão em \mathrm{L/min} e a densidade em \mathrm{kg/L}, é prático obter a vazão mássica assim:
\dot m = \rho \cdot \dot V,
onde \dot V é a vazão volumétrica. Com \rho em \mathrm{kg/L} e \dot V em \mathrm{L/min} devemos passar para \mathrm{kg/s} dividindo por 60.

Passo 3

Calculemos a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = 38^\circ\mathrm{C} - 12^\circ\mathrm{C} = 26^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Converta a vazão para \mathrm{kg/s}:
A vazão volumétrica é \dot V = 4\\ \mathrm{L/min}. Como \rho=1{,}0\\ \mathrm{kg/L},
\dot m = \rho\cdot\dot V = 1{,}0\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{L}}\times 4\\ \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{min}} = 4\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{min}}.
Agora convertemos para \mathrm{kg/s} dividindo por 60:
\dot m = \frac{4}{60}\\ \mathrm{kg/s} = \frac{1}{15}\\ \mathrm{kg/s}\approx 0{,}0666667\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Aplicando a fórmula da potência:
P = \dot m\, c\, \Delta T.
Substituindo os valores:
P = \left(\frac{4}{60}\right)\cdot 4186 \cdot 26.
Façamos as contas em etapas: primeiro c\Delta T:
c\,\Delta T = 4186 \times 26 = 108\,836.
Agora multiplicar por \dot m = \dfrac{4}{60}=\dfrac{1}{15}:
P = \frac{108\,836}{15} = 7\,255{,}733\ldots\\ \mathrm{W}.
Convertendo para quilowatts e arredondando razoavelmente:
P \approx 7{,}26\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Observações finais e interpretação (rápida e encorajadora):
  • Esse valor é a potência mínima teórica porque supomos que toda a energia elétrica vai só para aquecer a água (sem perdas por radiação, condução para o ambiente, resistência interna, etc.). Na prática, os chuveiros têm perdas, então os aparelhos comerciais costumam ter potências listadas um pouco maiores.
  • Boa notícia: agora você sabe transformar vazão em massa, aplicar Q=mc\Delta T e relacionar com potência — é exatamente o raciocínio que cai em prova.

Resposta

P \approx 7\,255{,}7\\ \mathrm{W}
P \approx 7{,}26\\ \mathrm{kW}

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