(2.5 pontos) Para cada afirmação abaixo, indique se é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Quando for V, apresente uma breve justificativa matemática. Quando for \mathbf{F}, reescreva a afirmação corretamente e explique o erro conceitual.
(a) Se uma sequência \left\{a_{n}\right\} é limitada, então ela possui subsequência convergente.
(b) Toda série com termos positivos e decrescentes é convergente.
(c) Se \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, então a série \sum a_{n} converge.
(d) Se a série \sum\left|a_{n}\right| converge, então \sum a_{n} também converge.
(e) O teste da razão e o teste da raiz produzem sempre o mesmo resultado sobre convergência.
(f) Uma série alternada \sum(-1)^{n} a_{n} com a_{n}>0 é convergente se \left\{a_{n}\right\} é decrescente e \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0.
(g) O raio de convergência de uma série de potências pode ser obtido tanto pelo teste da razão quanto pelo teste da raiz.
(h) Se uma série de potências \sum c_{n}(x-a)^{n} converge para x=x_{0}, então também converge para todos os x tais que |x-a|<\left|x_{0}-a\right|.
(i) A série de Taylor de uma função f converge sempre para f(x) em todo o domínio da função.
(j) Uma série pode ser divergente mesmo que seus termos a_{n} sejam decrescentes e tendam a zero.
Passo 1
O enunciado pede que, para cada afirmação (a)–(j), eu indique se é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Quando for V devo dar uma breve justificativa matemática; quando for F devo reescrever corretamente a afirmação e explicar o erro conceitual. Vou listar as afirmações tal como dadas (sem resolvê-las aqui), para ficar claro o que cada item pede:
(a) Se uma sequência \{a_{n}\} é limitada, então ela possui subsequência convergente.
(b) Toda série com termos positivos e decrescentes é convergente.
(c) Se \lim_{n\to\infty} a_{n}=0, então a série \sum a_{n} converge.
(d) Se a série \sum |a_{n}| converge, então \sum a_{n} também converge.
(e) O teste da razão e o teste da raiz produzem sempre o mesmo resultado sobre convergência.
(f) Uma série alternada \sum(-1)^{n} a_{n} com a_{n}>0 é convergente se \{a_{n}\} é decrescente e \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
(g) O raio de convergência de uma série de potências pode ser obtido tanto pelo teste da razão quanto pelo teste da raiz.
(h) Se uma série de potências \sum c_{n}(x-a)^{n} converge para x=x_{0}, então também converge para todos os x tais que |x-a|<|x_{0}-a|.
(i) A série de Taylor de uma função f converge sempre para f(x) em todo o domínio da função.
(j) Uma série pode ser divergente mesmo que seus termos a_{n} sejam decrescentes e tendam a zero.
Nas próximas etapas eu vou analisar item por item, dando a teoria necessária, exemplos e justificativas passo a passo.
Passo 2
Item (a). Afirmação: “Se uma sequência \{a_{n}\} é limitada, então ela possui subsequência convergente.”
Explicação do conceito necessário: Uma sequência \{a_n\} é limitada quando existe M>0 tal que |a_n|\le M para todo n. Uma subsequência é uma sequência formada por termos a_{n_k} com n_1<n_2<\cdots. A afirmação que conecta limite e subsequência é o Teorema de Bolzano–Weierstrass (versão para \mathbb{R}).
Enunciado do teorema usado: Em \mathbb{R}, toda sequência limitada possui uma subsequência convergente.
Justificativa rápida e didática: Intuitivamente, uma sequência limitada vive dentro de um intervalo finito; usando uma estratégia de bisseção (dividir o intervalo em dois e escolher o subintervalo que contém infinitos termos, repetir), constrói-se uma subsequência cujo comprimento do intervalo que a contém vai a zero, forçando convergência. Esse é o argumento clássico de Bolzano–Weierstrass.
Conclusão: A afirmação é Verdadeira (V).
Passo 3
Item (b). Afirmação: “Toda série com termos positivos e decrescentes é convergente.”
Conceitos e teste relevantes: Uma série \sum a_n com a_n>0 pode ser testada por comparações e pelo teste integral. Ser “decrescente” significa a_{n+1}\le a_n. A propriedade de termos positivos e decrescentes não garante convergência sozinha.
Contraexemplo clássico (ensina muito): Considere a série harmônica \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}. Os termos \frac{1}{n} são positivos e decrescentes, mas a série diverge. A demonstração da divergência da harmônica usa a comparação por agrupamento: agrupe termos em blocos de tamanho potência de 2 para ver que as somas parciais crescem sem limite.
Correção da afirmação: A forma correta seria, por exemplo, “Nem toda série com termos positivos e decrescentes converge. Um critério útil é: se a_n é da forma a_n=\frac{1}{n^{p}} (p-série), então \sum a_n converge se e somente se p>1.”
Erro conceitual explicado: A pessoa que escreveu a afirmação confundiu monotonicidade e positividade com um critério de convergência; monotonicidade sozinho não controla a velocidade de decaimento dos termos, que é o que importa para a soma infinita.
Conclusão: A afirmação é Falsa (F).
Passo 4
Item (c). Afirmação: “Se \lim_{n\to\infty} a_{n}=0, então a série \sum a_{n} converge.”
Conceito-chave: Uma condição necessária para que \sum a_n converja é que a_n\to 0. Mas essa condição é apenas necessária, não suficiente. Ou seja, termos tendendo a zero não garantem que as somas parciais tenham limite finito.
Contraexemplo: Tome a_n=\dfrac{1}{n}. Então \lim_{n\to\infty} a_n=0 mas \sum_{n=1}^\infty a_n é a série harmônica que diverge. Outro exemplo: a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} tem a_n\to0 mas a série diverge.
Correção da afirmação: O correto é “Se \sum a_n converge então \lim_{n\to\infty} a_n=0. A recíproca não vale em geral.”
Erro conceitual explicado: Confusão entre condição necessária e condição suficiente. O limite zero remove apenas uma causa óbvia de divergência (termos não tendendo a zero), mas não garante velocidade de decaimento suficiente para a soma convergir.
Conclusão: A afirmação é Falsa (F).
Passo 5
Item (d). Afirmação: “Se a série \sum |a_{n}| converge, então \sum a_{n} também converge.”
Conceito e teorema: Se \sum |a_n| converge chamamos \sum a_n de absolutamente convergente. Um teorema fundamental é: toda série absolutamente convergente é convergente (convergência absoluta implica convergência condicional/ordinária).
Justificação didática: A convergência de \sum |a_n| implica que as somas parciais de \sum a_n formam uma sequência de Cauchy (podemos controlar a soma de termos posteriores em módulo), logo \sum a_n converge. Formalmente usa-se a desigualdade triangular e o teste da Cauchy.
Conclusão: A afirmação é Verdadeira (V).
Passo 6
Item (e). Afirmação: “O teste da razão e o teste da raiz produzem sempre o mesmo resultado sobre convergência.”
Primeiro, relembrar os testes:
Teste da razão (forma simples): se existir \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) então: se \(L<1\) a série converge absolutamente; se \(L>1\) diverge; se \(L=1\) é inconclusivo.
- Teste da raiz: se existir \(\displaystyle R=\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}\) então: se \(R<1\) converge absolutamente; se \(R>1\) diverge; se \(R=1\) é inconclusivo.
Observação conceitual: os dois testes usam limites diferentes (\(|a_{n+1}/a_n|\) versus \(|a_n|^{1/n}\)) e o teste da raiz normalmente usa \(\limsup\). Eles concordam em muitos casos, mas não são idênticos nem "sempre" produzem o mesmo resultado.
Contraexemplo (concreto e simples de entender): Defina uma sequência com pequenos "picos" raros que não alteram a raiz \(n\)-ésima, mas fazem a razão não ter limite. Por exemplo, defina
\[a_n = \begin{cases} 2^{-n}, &\text{se } n \text{ não é um quadrado},\\[4pt] 2^{-n}\cdot 2^{\sqrt{n}}, &\text{se } n=m^{2}\text{ para algum }m. \end{cases}
Análise curta: Para todo n\] não quadrado temos \(|a_n|^{1/n}=1/2. Para n=m^2 temos
logo \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=1/2<1, e o teste da raiz conclui que \sum a_n converge absolutamente. Já |a_{n+1}/a_n| não tem limite bem-comportado por causa dos saltos quando passamos para um índice quadrado (os cocientes oscilam violentamente), de modo que o teste da razão fica inconclusivo (o limite não existe), portanto não dá o “mesmo resultado” aqui.
Correção da afirmação: O correto é “Em muitos casos os testes da razão e da raiz dão a mesma conclusão, mas não necessariamente — eles podem divergir em conclusão quando, por exemplo, a razão não tem limite enquanto a raiz tem \limsup<1.”
Erro conceitual explicado: Supor que ambos sempre coincidem ignora que cada teste analisa um tipo diferente de limite e que um dos limites pode não existir mesmo quando o outro existe e é conclusivo.
Conclusão: A afirmação é Falsa (F).]
Passo 7
Item (f). Afirmação: “Uma série alternada \sum(-1)^{n} a_{n} com a_{n}>0 é convergente se \{a_{n}\} é decrescente e \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.”
Conceito e teorema: Este é exatamente o Critério de Leibniz para séries alternadas. O enunciado do critério: se \{a_n\} é uma sequência positiva, monótona não crescente (ou eventualmente não crescente) e \lim_{n\to\infty} a_n=0, então a série \sum (-1)^n a_n (ou \sum (-1)^{n+1} a_n) converge. Ainda, o erro na soma parcial entre um termo par e ímpar é controlado por a_{n+1}.
Ilustração didática: A prova básica usa que as somas parciais S_{2n} formam uma sequência monótona crescente e limitada, e as S_{2n+1} formam uma sequência monótona decrescente e limitada, ambas convergentes ao mesmo limite.
Conclusão: A afirmação é Verdadeira (V).
Passo 8
Item (g). Afirmação: “O raio de convergência de uma série de potências pode ser obtido tanto pelo teste da razão quanto pelo teste da raiz.”
Conceitos: Para uma série de potências \sum c_n (x-a)^n o raio de convergência R é dado por fórmulas equivalentes:
Explicação didática: O teste da raiz aplicado aos termos c_n(x-a)^n dá diretamente \limsup |c_n|^{1/n}\cdot|x-a| e impõe |x-a|<1/\limsup|c_n|^{1/n}. O teste da razão aplicado aos mesmos termos (quando o limite da razão existe) leva à mesma expressão para 1/R. Assim, ambos os testes são ferramentas legítimas para determinar R; quando o limite da razão existe, os dois dão exatamente o mesmo valor.
Conclusão: A afirmação é Verdadeira (V).
Passo 9
Item (h). Afirmação: “Se uma série de potências \sum c_{n}(x-a)^{n} converge para x=x_{0}, então também converge para todos os x tais que |x-a|<|x_{0}-a|.”
Conceito e argumento: Para uma série de potências existe um raio de convergência R tal que a série converge absolutamente para |x-a|<R e diverge para |x-a|>R. Se a série converge em x_0, então |x_0-a|\le R. Logo qualquer x com |x-a|<|x_0-a| satisfaz |x-a|<R, portanto a série converge para esse x. Outra forma: convergência em um ponto interior garante convergência em todo disco centrado em a de raio menor.
Justificativa didática: Convergência em x_0 dá uma informação sobre o raio (pelo teste da raiz/razão); interior do disco de convergência é todo ponto com menor distância ao centro.
Conclusão: A afirmação é Verdadeira (V).
Passo 10
Item (i). Afirmação: "A série de Taylor de uma função f\) converge sempre para \(f(x)\) em todo o domínio da função."
Conceitos importantes: A série de Taylor de \(f\) centrada em \(a\) é \(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\). Porém, nem toda função suave (infinitamente diferenciável) é igual à sua série de Taylor: existem funções \(C^{\infty}\) cuja série de Taylor em um ponto converge, mas não coincide com a função (a série pode até convergir para outra função). A propriedade de que \(f\) coincide com sua série de Taylor em torno de \(a\) chama-se "analiticidade" (ou ser uma função analítica).
Contraexemplo padrão (muito usado e pedagógico): Defina
\[f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^{2}}, & x\neq 0,\\[4pt] 0, & x=0. \end{cases}
Esta função é C^{\infty}\] em \(\mathbb{R} e todas as derivadas em 0 são 0, logo a série de Taylor em 0 é identicamente zero. Porém f(x)>0 para x\neq 0, então a série de Taylor não representa f(x) para x\neq 0. Assim, a série de Taylor nem sempre converge para f(x).
Correção da afirmação: A versão correta é “Se f é analítica em um ponto (ou num intervalo), então a série de Taylor de f naquele ponto converge para f(x) em alguma vizinhança.” Ou seja, convergência para f exige analiticidade, não apenas diferenciabilidade infinita.
Erro conceitual explicado: Confusão entre ser C^{\infty} (todas as derivadas existem) e ser analítico (função dada por sua série de Taylor). Nem todo C^{\infty} é analítico.
Conclusão: A afirmação é Falsa (F).]
Passo 11
Item (j). Afirmação: “Uma série pode ser divergente mesmo que seus termos a_{n} sejam decrescentes e tendam a zero.”
Explicação didática: Isto é totalmente possível — a condição a_n\downarrow 0 (decrescente e tendendo a zero) não implica convergência da soma. O exemplo básico e clássico é a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}: os termos \dfrac{1}{n} são decrescentes e tendem a zero, mas a série diverge. Outro exemplo: \sum 1/\sqrt{n}.
Motivação para prova do contraexemplo: Uma série precisa que os termos tendam a zero “rápido o bastante”; 1/n decai muito lentamente, e agrupar termos mostra que as somas parciais crescem sem limite.
Conclusão: A afirmação é Verdadeira (V) no sentido de que a frase inicial “Uma série pode ser divergente mesmo que…” é correta — tanto a existência de exemplos mostra isso. (ou seja: é verdadeiro que existem séries divergence descritas).
Resposta
(a) V
(b) F — Correção: Nem toda série com termos positivos e decrescentes converge (contraex.: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge). Uma condição útil: \sum 1/n^{p} converge iff p>1.
(c) F — Correção: \lim_{n\to\infty}a_n=0 é necessário, mas não suficiente, para \sum a_n convergir (contraex.: a_n=1/n).
(d) V
(e) F — Correção: Os testes da razão e da raiz não são sempre equivalentes; por exemplo, existem sequências em que \limsup |a_n|^{1/n}<1 (teste da raiz conclui convergência) enquanto |a_{n+1}/a_n| não tem limite (teste da razão fica inconclusivo).
(f) V
(g) V
(h) V
(i) F — Correção: A série de Taylor converge para f apenas se f for analítica (ex.: f(x)=e^{-1/x^{2}} com f(0)=0 é C^{\infty} mas sua série de Taylor em 0 não representa f).
(j) V