Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: e
são constantes; a variável é
(tempo), com
.
O que vamos devolver: uma expressão em termos da variável de Laplace (complexa), válida na região de convergência adequada.
Informações dadas:
O que vamos devolver: uma expressão em termos da variável de Laplace
Passo 2
Definição (fórmula que vamos usar): a transformada de Laplace de uma função
é
Aqui
é uma variável complexa; para integrais do tipo exponencial amortecida com funções trigonométricas a região de convergência será
. Vou explicar cada símbolo:
é a variável de integração (tempo),
é o fator exponencial de decaimento que garante convergência quando
, e o resultado é uma função de
.
Passo 3
Usamos a fórmula de adição do cosseno para escrever
como combinação de
e
. A identidade é
Isso é útil porque a transformada de Laplace é linear, ou seja,
para constantes
. Portanto
Passo 4
Vamos calcular
. Defina
Vou calcular
por integração por partes duas vezes (método elementar, sem usar exponenciais complexas).
Passo 5
Primeira integração por partes para
. Escolho
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula
obtemos
Avalio o termo de fronteira: quando
temos
quando
; em
temos
. Então o termo de fronteira vale
. O integrando remanescente simplifica para
. Assim
onde definimos
Passo 6
Agora calculamos
por integração por partes. Tome
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula:
O termo de fronteira é zero (em
decai; em
vale zero porque
). O integral restante é
, ou seja
Passo 7
Voltando à relação do Passo 5, substituímos
em
Isso dá
Agrupando termos com
,
Compute o fator da esquerda:
. Então
Portanto
Passo 8
Com
e o valor de
acima, obtemos
Expliquei aqui que
e
são as transformadas de
e
respectivamente.
Passo 9
Voltamos à decomposição do Passo 3. Usando linearidade e os resultados:
Colocando em uma única fração obtemos