Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. ( a, b, k, \omega, \theta são constantes.)
\cos (\omega t+\theta)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função \cos(\omega t+\theta).
Informações dadas: \omega e \theta são constantes; a variável é t (tempo), com t\ge 0.
O que vamos devolver: uma expressão em termos da variável de Laplace s (complexa), válida na região de convergência adequada.

Passo 2

Definição (fórmula que vamos usar): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Aqui s é uma variável complexa; para integrais do tipo exponencial amortecida com funções trigonométricas a região de convergência será \operatorname{Re}(s)>0. Vou explicar cada símbolo: t é a variável de integração (tempo), e^{-s t} é o fator exponencial de decaimento que garante convergência quando \operatorname{Re}(s)>0, e o resultado é uma função de s.

Passo 3

Usamos a fórmula de adição do cosseno para escrever \cos(\omega t+\theta) como combinação de \cos(\omega t) e \sin(\omega t). A identidade é
\cos(\omega t+\theta)=\cos\theta\cos(\omega t)-\sin\theta\sin(\omega t).
Isso é útil porque a transformada de Laplace é linear, ou seja,
\mathcal{L}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}=\alpha\mathcal{L}\{f(t)\}+\beta\mathcal{L}\{g(t)\},
para constantes \alpha,\beta. Portanto
\mathcal{L}\{\cos(\omega t+\theta)\} =\cos\theta\,\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}-\sin\theta\,\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}.

Passo 4

Vamos calcular \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}. Defina
I=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(\omega t)\,dt.
Vou calcular I por integração por partes duas vezes (método elementar, sem usar exponenciais complexas).

Passo 5

Primeira integração por partes para I. Escolho u=\cos(\omega t) e dv=e^{-s t}dt. Então du=-\omega\sin(\omega t)\,dt e v=-\dfrac{e^{-s t}}{s}. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du obtemos
I=\left[-\frac{e^{-s t}\cos(\omega t)}{s}\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{e^{-s t}}{s}\right)\left(-\omega\sin(\omega t)\right)\,dt.
Avalio o termo de fronteira: quando \operatorname{Re}(s)>0 temos e^{-s t}\to 0 quando t\to\infty; em t=0 temos -\dfrac{e^{0}\cos 0}{s}=-\dfrac{1}{s}. Então o termo de fronteira vale 0-(-\dfrac{1}{s})=\dfrac{1}{s}. O integrando remanescente simplifica para +\dfrac{\omega}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(\omega t)\,dt. Assim
I=\frac{1}{s}-\frac{\omega}{s}J,
onde definimos
J=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(\omega t)\,dt.

Passo 6

Agora calculamos J por integração por partes. Tome u=\sin(\omega t) e dv=e^{-s t}dt. Então du=\omega\cos(\omega t)\,dt e v=-\dfrac{e^{-s t}}{s}. Aplicando a fórmula:
J=\left[-\frac{e^{-s t}\sin(\omega t)}{s}\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{e^{-s t}}{s}\right)\omega\cos(\omega t)\,dt.
O termo de fronteira é zero (em t\to\infty decai; em t=0 vale zero porque \sin 0=0). O integral restante é +\dfrac{\omega}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(\omega t)\,dt, ou seja
J=\frac{\omega}{s}I.

Passo 7

Voltando à relação do Passo 5, substituímos J=\dfrac{\omega}{s}I em
I=\frac{1}{s}-\frac{\omega}{s}J.
Isso dá
I=\frac{1}{s}-\frac{\omega}{s}\cdot\frac{\omega}{s}I =\frac{1}{s}-\frac{\omega^{2}}{s^{2}}I.
Agrupando termos com I,
I\!\left(1+\frac{\omega^{2}}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s}.
Compute o fator da esquerda: 1+\dfrac{\omega^{2}}{s^{2}}=\dfrac{s^{2}+\omega^{2}}{s^{2}}. Então
I=\frac{1}{s}\cdot\frac{s^{2}}{s^{2}+\omega^{2}}=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 8

Com J=\dfrac{\omega}{s}I e o valor de I acima, obtemos
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}(s)=J=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.
Expliquei aqui que I e J são as transformadas de \cos(\omega t) e \sin(\omega t) respectivamente.

Passo 9

Voltamos à decomposição do Passo 3. Usando linearidade e os resultados:
\mathcal{L}\{\cos(\omega t+\theta)\} =\cos\theta\cdot\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}-\sin\theta\cdot\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.
Colocando em uma única fração obtemos
\mathcal{L}\{\cos(\omega t+\theta)\}(s)=\frac{s\cos\theta-\omega\sin\theta}{s^{2}+\omega^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\cos(\omega t+\theta)\}(s)=\frac{s\cos\theta-\omega\sin\theta}{s^{2}+\omega^{2}},\\ \operatorname{Re}(s)>0

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