(2.5 pontos) Escolha parâmetros reais p>0 e q>0.
(a) Estude a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k^{p}(\ln (k+1))^{q}}
Identifique os casos em que a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
(b) Ajuste o valor de q (mantendo p fixo) de modo que o tipo de convergência da série se altere. Explique matematicamente por que ocorre essa mudança.
(c) Justifique todas as conclusões indicando os testes de convergência utilizados (razão, raiz, comparação, integral ou Leibniz, conforme apropriado).

Passo 1

O enunciado pede três coisas principais e nos dá as seguintes informações:
  1. Perguntas:
    • (a) Estudar a convergência da série \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k^{p}(\ln(k+1))^{q}}identificando quando ela converge absolutamente, quando converge condicionalmente e quando diverge.
    • (b) Mostrar um ajuste em q (com p fixo) que faça o tipo de convergência mudar, e explicar por que isso ocorre.
    • (c) Justificar todas as conclusões indicando os testes de convergência usados.
  2. Dados:
    • Os parâmetros são reais e positivos: p>0 e q>0.
    • A série é alternada por causa do fator (-1)^k.
  3. Observações úteis que temos desde já (sem resolver ainda):
    • Para estudar convergência absoluta vamos analisar a série de termos positivos \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{p}(\ln(k+1))^{q}}.
    • Para estudar convergência (possivelmente condicional) da série alternada podemos tentar o teste de Leibniz (alternating series test).
A partir daqui começa a resolução passo a passo.

Passo 2

Estudo da convergência absoluta: introdução da ferramenta principal (Cauchy condensation) e aplicação.
Explicando a ferramenta (Cauchy condensation): se (a_k)_{k\ge1} é uma sequência positiva, monótona não crescente (eventualmente monotônica basta) então a série \sum_{k=1}^\infty a_k converge se, e somente se, converge a série condensada
\sum_{n=0}^\infty 2^{n} a_{2^{n}}.
Intuição rápida: a condensação agrupa blocos de termos de maneira que o comportamento assintótico fica mais claro; é especialmente útil quando há potências e logaritmos.
Agora aplicamos com
a_k=\frac{1}{k^{p}(\ln(k+1))^{q}},\qquad p>0,\\ q>0.
Primeiro notamos que a_k>0 e que a_k é eventual e monotonicamente decrescente (mostro isso no Passo 3). Assim podemos usar Cauchy condensation. Calculamos os termos condensados:
a_{2^{n}}=\frac{1}{(2^{n})^{p}\bigl(\ln(2^{n}+1)\bigr)^{q}}.
Para n grande \ln(2^{n}+1) é equivalente a \ln(2^{n})=n\ln 2; mais precisamente, \ln(2^{n}+1)\sim n\ln 2. Então, para análise assintótica,
2^{n}a_{2^{n}}\\ \approx\\\ 2^{n}\cdot\frac{1}{2^{np}(n\ln 2)^{q}} =\frac{1}{(\ln 2)^{q}}\cdot\frac{2^{n(1-p)}}{n^{q}}.
A constante (\ln 2)^{-q} não altera convergência. Portanto a convergência da condensada é determinada pelo comportamento de
\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n(1-p)}}{n^{q}}.
Agora analisamos três casos distintos de p:
  • Caso 1: p>1. Então 1-p<0 e 2^{n(1-p)} decresce geometricamente (fator 2^{1-p}<1). Uma série do tipo "geométrica vezes 1/n^q" converge porque o fator geométrico domina: existe r\in(0,1) com 2^{n(1-p)}\le Cr^{n}, assim a série converge. Logo a série condensada converge e, pelo teste de Cauchy, a série original de termos positivos converge. Conclusão: para p>1 a série absoluta converge (para todo q>0).
  • Caso 2: p=1. Então 2^{n(1-p)}=1 e a condensada vira (assintoticamente)
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{q}},
que é a série p de Riemann em n com expoente q. Esta converge se e somente se q>1. Portanto:
  • Se p=1 e q>1 então a série absoluta converge.
  • Se p=1 e 0<q\le1 então a série absoluta diverge.
  • Caso 3: 0<p<1. Então 1-p>0 e 2^{n(1-p)} cresce exponencialmente enquanto n^{q} cresce polinomialmente; portanto os termos 2^{n(1-p)}/n^{q} não tendem a zero (crescem) e a série condensada diverge. Logo a série original de termos positivos diverge. Conclusão: para 0<p<1 a série absoluta diverge (para todo q>0).
Resumindo até aqui (apenas sobre convergência absoluta):
  • Converge absolutamente se e somente se
    • p>1 (qualquer q>0), ou
    • p=1 e q>1.
  • Diverge absolutamente se
    • 0<p<1 (qualquer q>0), ou
    • p=1 e 0<q\le1.

Passo 3

Estudo da convergência da série alternada usando o teste de Leibniz (alternating series test).
Enunciado do teste de Leibniz (versão utilizável): se (b_k)_{k\ge1} é uma sequência positiva, decrescente (eventualmente monotônica decrescente basta) e tal que \lim_{k\to\infty} b_k = 0, então a série alternada
\sum_{k=1}^\infty (-1)^k b_k
converge (pode ser condicionalmente se \sum b_k divergir).
Aqui definimos
b_k=\frac{1}{k^{p}(\ln(k+1))^{q}},\qquad p>0,\\ q>0.
Precisamos verificar duas coisas: \lim_{k\to\infty} b_k = 0 e que b_k é decrescente a partir de algum índice.
  1. Limite: como p>0 temos k^{p}\to\infty quando k\to\infty. Além disso (\ln(k+1))^{q} também cresce (lentamente). Logo
\lim_{k\to\infty} b_k = 0.
Isto é direto e suficiente para a parte do limite do teste.
  1. Monotonicidade (argumento técnico, mas direto): considere a função contínua para x\ge1
f(x)=\frac{1}{x^{p}(\ln(x+1))^{q}}.
Calculemos a derivada (apenas para mostrar que é negativa para x grande):
f'(x)=-p\,x^{-p-1}(\ln(x+1))^{-q}-q\,x^{-p}(\ln(x+1))^{-q-1}\cdot\frac{1}{x+1}.
Ambos os termos são negativos para x\ge1, assim f'(x)<0 para todo x\ge1. Portanto f é decrescente em [1,\infty), o que implica que a sequência b_k=f(k) é decrescente para todo k\ge1. Logo a condição de monotonicidade do teste de Leibniz está satisfeita.
Aplicando o teste de Leibniz: como b_k é positiva, decrescente e tende a 0, a série alternada
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k^{p}(\ln(k+1))^{q}}
converge para todo p>0 e q>0.
Conclusão parcial importante: para qualquer p>0 e q>0 a série alternada converge (mas pode ser convergência absoluta ou apenas condicional, dependendo do caso do Passo 2).

Passo 4

Combinação das conclusões de absoluta vs. alternada para classificar os tipos de convergência (absoluta, condicional ou divergência) dependendo de p e q.
  • Se p>1 (qualquer q>0): a série converge absolutamente (Passo 2), portanto também converge (absoluta).
  • Se p=1:
    • Se q>1: a série converge absolutamente (Passo 2).
    • Se 0<q\le1: a série não converge absolutamente (Passo 2) mas converge pela alternância (Passo 3); portanto converge condicionalmente.
  • Se 0<p<1 (qualquer q>0): a série não converge absolutamente (Passo 2) mas converge pela alternância (Passo 3); portanto converge condicionalmente.
Divergência total da série (nem condicional nem absoluta)? Não ocorre para nenhum p>0,q>0: a série alternada sempre converge pelo teste de Leibniz, portanto não há casos de divergência completa dentro do domínio p>0,q>0.

Passo 5

Resposta ao item (b): escolha de q que altera o tipo de convergência mantendo p fixo, e explicação.
A melhor escolha para ver a mudança é fixar p=1. Então a série fica
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k(\ln(k+1))^{q}}.
  • Se eu escolher q=0{,}5 (ou qualquer 0<q\le1), pelo Passo 2 a série dos valores absolutos \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(\ln(k+1))^{q}}diverge (caso p=1 e q\le1), mas a série alternada converge (Leibniz). Portanto nesse caso temos convergência condicional.
  • Se eu escolher q=2 (ou qualquer q>1), então a série dos valores absolutos converge (caso p=1 e q>1), então a série converge absolutamente.
Por que essa mudança ocorre (explicação matemática): para p=1 a comparação crítica é com a série harmônica lenta modificada \sum 1/(k(\ln k)^q). Pelo teste de Cauchy (condensação) ou pelo teste integral, essa série de termos positivos converge se e somente se q>1. Assim ao atravessar o limiar q=1 a série de módulos passa de divergente para convergente, o que transforma a convergência da série alternada de condicional para absoluta.

Passo 6

Resumo dos testes usados e justificativa final (item (c)):
  • Teste de Leibniz (alternating series test): usado para garantir que a série alternada converge sempre que os módulos b_k são positivos, decrescentes e têm limite zero. Mostrei que b_k=1/(k^{p}(\ln(k+1))^{q}) tende a 0 e é decrescente (derivada negativa de f(x)), logo a série alternada converge para todo p>0,q>0.
  • Teste de Cauchy (condensation): aplicado à série de módulos \sum b_k (série de termos positivos). Calculei a série condensada 2^{n}b_{2^{n}} e reduzi o problema ao estudo da série
    \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n(1-p)}}{n^{q}}.
    A partir daí classifiquei os casos:
    • p>1: fator exponencial decrescente e a série converge (absoluta).
    • p=1: reduz a \sum 1/n^{q} que converge s.s. q>1.
    • 0<p<1: fator exponencial crescente e diverge (não há convergência absoluta).
  • Observação opcional (equivalente): poderia também usar o teste integral ou comparações conhecidas (p-series e série do tipo 1/(k(\ln k)^q)) para o caso p=1; o resultado é o mesmo: a série de módulos converge s.s. q>1.
Todos os passos essenciais foram justificados com os testes citados.

Resposta

Converge absolutamente: p>1 (qualquer q>0) ou p=1 e q>1.
Converge condicionalmente: 0<p<1 (qualquer q>0) e p=1 com 0<q\le1.
Diverge (nem condicional nem absoluta): nenhum caso para p>0,q>0.

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