( 4 pontos cada item) Diga se cada uma das séries a seguir são convergentes ou divergentes é justifique sua resposta. Caso seja possível, encontre o valor da série.
\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\frac{2}{5}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=0}^{\infty} 5\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^{n}
determinando se ela converge ou diverge, e, se possível, calcular seu valor. O conteúdo principal é o teste e a soma de séries geométricas.

Passo 2

Reconhecemos que se trata de uma série geométrica de primeiro termo
a = 5\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^{0} = 5
e razão
r = \tfrac{2}{5}.

Passo 3

Para séries geométricas, a condição de convergência é |r|<1. Aqui |r| = \tfrac{2}{5} < 1, logo a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é
S = \frac{a}{1 - r}.
Substituindo a=5 e r=\tfrac{2}{5}, temos
S = \frac{5}{1 - \tfrac{2}{5}} = \frac{5}{\tfrac{3}{5}} = \frac{5 \cdot 5}{3} = \tfrac{25}{3}.

Resposta

A série é convergente e seu valor é \tfrac{25}{3}.

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