( 4 pontos cada item) Diga se cada uma das séries a seguir são convergentes ou divergentes é justifique sua resposta. Caso seja possível, encontre o valor da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n!}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n-1}{n!}
é convergente ou divergente e, se possível, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é análise de séries numéricas e, em particular, o método de séries telescópicas.

Passo 2

Observe que o termo geral pode ser reescrito como
\frac{n-1}{n!} =\frac{n}{n!}-\frac{1}{n!} =\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}.
Esse rearranjo sugere que a soma parcial vai telescopar, pois cada parcela 1/(n-1)! cancela parte da parcela anterior.

Passo 3

Definindo a soma parcial S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{n-1}{n!}, temos
S_{N} =\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}\Bigr) =\Bigl(\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\Bigr) +\cdots +\Bigl(\frac{1}{(N-1)!}-\frac{1}{N!}\Bigr).
Na soma, todos os termos intermediários cancelam, sobrando
S_{N} =\frac{1}{0!}-\frac{1}{N!} =1-\frac{1}{N!}.

Passo 4

Para concluir, tomamos o limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\lim_{N\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{N!}\Bigr) =1.
Como o limite da soma parcial existe e é finito, a série converge e seu valor é 1.

Resposta

A série é convergente e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n-1}{n!}=1.

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