( 4 pontos cada item) Diga se cada uma das séries a seguir são convergentes ou divergentes é justifique sua resposta. Caso seja possível, encontre o valor da série.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente e, se possível, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é análise de séries numéricas e, em particular, o método de séries telescópicas.
Passo 2
Observe que o termo geral pode ser reescrito como
Esse rearranjo sugere que a soma parcial vai telescopar, pois cada parcela
cancela parte da parcela anterior.
Passo 3
Definindo a soma parcial
, temos
Na soma, todos os termos intermediários cancelam, sobrando
Passo 4
Para concluir, tomamos o limite quando
:
Como o limite da soma parcial existe e é finito, a série converge e seu valor é
.
Resposta
A série é convergente e