Calcule \iint_{S} \frac{1}{\sqrt{3 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}-\mathrm{z}+10}} \mathrm{dS}, onde S é a superfície \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}=9 compreendida acima do plano \mathrm{z}=3-\mathrm{y}

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{3x^{2}+3y^{2}-z+10}}\,dS,
onde S é a parte da superfície
x^{2}+y^{2}+z=9
(acima do plano z=3-y).
Para resolver, vamos ver S como gráfico z=g(x,y), usar
dS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy
e transformar a integral de superfície numa integral dupla sobre o domínio D no plano xy.

Passo 2

Escrevemos
z=g(x,y)=9-x^{2}-y^{2},
então
g_x=-2x,\quad g_y=-2y
e
dS=\sqrt{1+(-2x)^2+(-2y)^2}\,dx\,dy=\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy.

Passo 3

Substituímos z=g(x,y) no integrando:
3x^2+3y^2-z+10=3x^2+3y^2-(9-x^2-y^2)+10 =4x^2+4y^2+1,
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\frac{1}{\sqrt{3x^2+3y^2-z+10}} =\frac{1}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}.
Multiplicando por dS obtemos
\frac{1}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\;\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy =dx\,dy.

Passo 4

O domínio D no plano xy vem da interseção com z=3-y:
9-x^2-y^2=3-y \;\Longrightarrow\; x^2+y^2-y-6=0.
Completando o quadrado em y:
x^2+(y-\tfrac12)^2=\tfrac{25}{4},
ou seja, D é o disco de raio r=\tfrac52.

Passo 5

A integral sobre S vira
\iint_{S}\dots\,dS =\iint_{D}dx\,dy =\text{área}(D) =\pi r^2 =\pi\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^{2} =\frac{25\pi}{4}.á

Resposta

\frac{25\pi}{4}

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