(5 pontos cada item ) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
t y^{\prime}(t)-2 y(t)=-t, y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
t\,y'(t)-2\,y(t)=-t,\qquad y(1)=0.
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes dadas:
  • A equação envolve o fator t multiplicando y'(t), logo é necessário assegurar t\neq0 para manipulações que dividam por t.
  • A condição inicial está em t=1, portanto estamos interessados numa solução válida em um intervalo contendo t=1 (ou seja, em t>0).

Passo 2

Colocando a equação numa forma padrão (para equações lineares de primeira ordem) dividimos por t (como t\neq0):
y'(t)-\frac{2}{t}y(t)=-1.
Aqui identifiquei os coeficientes:
  • p(t)=-\dfrac{2}{t} é o coeficiente que multiplica y(t);
  • q(t)=-1 é o termo fonte do lado direito.
    A estratégia que vamos usar é o método do fator integrante (integrating factor), que é prático e direto para equações da forma
y'(t)+p(t)y(t)=q(t).

Passo 3

Explicando o método do fator integrante de forma didática:
  • A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(t)y(t).
  • Para isso escolhe-se
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
  • No nosso caso p(t)=-\dfrac{2}{t}, então calculamos
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\frac{2}{t}\,dt\right)=\exp\!\big(-2\ln|t|\big)=|t|^{-2}.
Como a condição inicial está em t=1>0, podemos trabalhar com t>0 e então usar \mu(t)=t^{-2}.

Passo 4

Aplicando o fator integrante à equação:
multiplicando y'(t)-\dfrac{2}{t}y(t)=-1 por \mu(t)=t^{-2} obtemos
t^{-2}y'(t)-2t^{-3}y(t)=-t^{-2}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \dfrac{d}{dt}\big(t^{-2}y(t)\big) (provavelmente já percebeu: derivando t^{-2}y pelo produto dá t^{-2}y' + (t^{-2})'y = t^{-2}y' -2t^{-3}y). Assim temos
\frac{d}{dt}\big(t^{-2}y(t)\big)=-t^{-2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big(t^{-2}y(t)\big)\,dt = \int -t^{-2}\,dt.
A integral do lado esquerdo é simplesmente t^{-2}y(t). Para a direita, calcule passo a passo:
\int -t^{-2}\,dt = -\int t^{-2}\,dt = -\left(\frac{t^{-1}}{-1}\right)=t^{-1}+C,
onde C é constante de integração. Portanto obtemos
t^{-2}y(t)=t^{-1}+C.

Passo 6

Isolando y(t) multiplicamos por t^{2}:
y(t)=t^{2}\left(t^{-1}+C\right)=t+C\,t^{2}.
Essa é a solução geral da equação diferencial (válida para t\neq0; com a condição inicial em t=1 consideramos t>0).

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(1)=0 para determinar a constante C:
0=y(1)=1+C\cdot 1^{2}=1+C \quad\Rightarrow\quad C=-1.
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(t)=t- t^{2}.

Passo 8

Verificação rápida (para ficar seguro): calculando y'(t)=1-2t. Substituindo na equação original:
t\,y'(t)-2y(t)=t(1-2t)-2(t-t^{2})=t-2t^{2}-2t+2t^{2}=-t,
que coincide com o lado direito da equação original. Também y(1)=1-1=0, então a condição inicial é satisfeita.

Resposta

y(t)=t-t^{2},\quad t>0

Exercícios relacionados