(5 pontos cada item ) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes dadas:
- A equação envolve o fator
multiplicando , logo é necessário assegurar para manipulações que dividam por . - A condição inicial está em
, portanto estamos interessados numa solução válida em um intervalo contendo (ou seja, em ).
Passo 2
Colocando a equação numa forma padrão (para equações lineares de primeira ordem) dividimos por
(como
):
Aqui identifiquei os coeficientes:
-
é o coeficiente que multiplica ; -
é o termo fonte do lado direito.
A estratégia que vamos usar é o método do fator integrante (integrating factor), que é prático e direto para equações da forma
Passo 3
Explicando o método do fator integrante de forma didática:
- A ideia é multiplicar a equação por uma função
escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada do produto . - Para isso escolhe-se
- No nosso caso
, então calculamos
Como a condição inicial está em
, podemos trabalhar com
e então usar
.
Passo 4
Aplicando o fator integrante à equação:
multiplicando por
obtemos
multiplicando
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
(provavelmente já percebeu: derivando
pelo produto dá
). Assim temos
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a direita, calcule passo a passo:
onde
é constante de integração. Portanto obtemos
Passo 6
Isolando
multiplicamos por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial (válida para
; com a condição inicial em
consideramos
).
Passo 7
Aplicando a condição inicial
para determinar a constante
:
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 8
Verificação rápida (para ficar seguro): calculando
. Substituindo na equação original:
que coincide com o lado direito da equação original. Também
, então a condição inicial é satisfeita.