A velocidade média das moléculas em um gás ideal é
onde
é o peso molecular do gás,
é a constante do gás;
a temperatura do gás; e
é a velocidade molecular. Calcule
, em função das constantes dadas acima.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a velocidade média das moléculas
dada pela expressão
Informações fornecidas:
-
é o peso molecular do gás (constante). -
é a constante universal dos gases (constante). -
é a temperatura (constante). - A integração é sobre
de a .
O objetivo: avaliar explicitamente a integral e escreverem função das constantes dadas.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a escrita definindo uma constante positiva conveniente. Defina
Com essa definição a expressão para
fica
Explicação rápida: isso só renomeia a combinação
por
para facilitar os cálculos. Note que
porque
.
Passo 3
Vamos calcular a integral
usando a substituição típica para potências no expoente. Faça a troca de variável
Agora calcule
em termos de
. Como
, tem-se
Isolando
obtemos
Passo 4
Troque as variáveis na integral
. Quando
vai de
a
,
também vai de
a
. Substituindo:
A integral
é elementar e vale
. Portanto
Comentário didático: essa simplificação acontece porque a potência
casa com a derivada do
do expoente; esse é um truque recorrente para integrais do tipo
.
Passo 5
Agora volte à expressão de
. Lembremos que
. Substituindo
obtemos
Observe que a constante
(e, por consequência,
) cancela; o resultado final é um número constante multiplicado por
. Isso decorre da forma particular do integrando proposto.
Passo 6
Contexto e alternativa (aula rápida): uma forma geral útil é reconhecer que integrais do tipo
podem ser reduzidas por substituição
ou expressas com a função Gamma. No nosso caso específico a substituição direta já basta e dá o resultado simples acima. Não esqueça: sempre verifique os limites e a correspondência entre a potência
e a derivada do termo no expoente.