A velocidade média das moléculas em um gás ideal é
\bar{v}=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{M}{2 R T}\right) \int_{0}^{\infty} v^{2} e^{-M v^{3} /(2 R T)} d v
onde M é o peso molecular do gás, R é a constante do gás; T a temperatura do gás; e v é a velocidade molecular. Calcule \bar{v}, em função das constantes dadas acima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a velocidade média das moléculas \bar{v} dada pela expressão
\bar{v}=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{M}{2 R T}\right)\int_{0}^{\infty} v^{2} e^{-M v^{3} /(2 R T)}\,d v.
Informações fornecidas:
  • M é o peso molecular do gás (constante).
  • R é a constante universal dos gases (constante).
  • T é a temperatura (constante).
  • A integração é sobre v de 0 a +\infty.
    O objetivo: avaliar explicitamente a integral e escrever \bar{v} em função das constantes dadas.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a escrita definindo uma constante positiva conveniente. Defina
a=\frac{M}{2RT}.
Com essa definição a expressão para \bar{v} fica
\bar{v}=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\,a\int_{0}^{\infty} v^{2} e^{-a v^{3}}\,d v.
Explicação rápida: isso só renomeia a combinação M/(2RT) por a para facilitar os cálculos. Note que a>0 porque M,R,T>0.

Passo 3

Vamos calcular a integral
I=\int_{0}^{\infty} v^{2} e^{-a v^{3}}\,d v
usando a substituição típica para potências no expoente. Faça a troca de variável
u=a v^{3}.
Agora calcule du em termos de dv. Como u=a v^{3}, tem-se
du=3a v^{2}\,dv.
Isolando v^{2}\,dv obtemos
v^{2}\,dv=\frac{du}{3a}.

Passo 4

Troque as variáveis na integral I. Quando v vai de 0 a +\infty, u=a v^{3} também vai de 0 a +\infty. Substituindo:
I=\int_{0}^{\infty} v^{2} e^{-a v^{3}}\,d v =\int_{0}^{\infty} e^{-u}\left(\frac{du}{3a}\right) =\frac{1}{3a}\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du.
A integral \int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du é elementar e vale 1. Portanto
I=\frac{1}{3a}.
Comentário didático: essa simplificação acontece porque a potência v^{2} casa com a derivada do v^{3} do expoente; esse é um truque recorrente para integrais do tipo \int x^{n} e^{-c x^{m}}dx.

Passo 5

Agora volte à expressão de \bar{v}. Lembremos que \bar{v}=(4/\sqrt{\pi})\,a\,I. Substituindo I=1/(3a) obtemos
\bar{v}=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\,a\cdot\frac{1}{3a}=\frac{4}{3\sqrt{\pi}}.
Observe que a constante a (e, por consequência, M,R,T) cancela; o resultado final é um número constante multiplicado por 1. Isso decorre da forma particular do integrando proposto.

Passo 6

Contexto e alternativa (aula rápida): uma forma geral útil é reconhecer que integrais do tipo
\int_{0}^{\infty} x^{p-1} e^{-q x^{m}}\,dx
podem ser reduzidas por substituição u=q x^{m} ou expressas com a função Gamma. No nosso caso específico a substituição direta já basta e dá o resultado simples acima. Não esqueça: sempre verifique os limites e a correspondência entre a potência x^{p-1} e a derivada do termo no expoente.

Resposta

\displaystyle \bar{v}=\frac{4}{3\sqrt{\pi}}

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