Sendo F(x)=\int_{1}^{x^{2}} sen t d t, calcule F^{\prime}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\int_{1}^{x^{2}} \sin t\, dt
e pede para calcular F'\!\left(\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\right).
Informações relevantes:
  • A integral tem limite inferior constante 1 e limite superior variável x^{2}.
  • A função integranda é \sin t.
  • O ponto onde queremos a derivada é x=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}.

Passo 2

Entendimento da ferramenta que vamos usar (explicado passo a passo).
Se tivermos uma função definida por uma integral com limite superior dependente de x,
G(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt,
duas ideias-chave valem:
  1. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), a derivada da função primitiva H(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt é H'(u)=f(u). Em outras palavras, derivar uma integral em relação ao seu limite superior retorna o integrando avaliado nesse limite.
  2. Se o limite superior é uma função g(x), então devemos aplicar a regra da cadeia: a derivada de G(x)=H(g(x)) é G'(x)=H'(g(x))\cdot g'(x).
Juntando as duas ideias obtemos a fórmula prática:
\text{Se }G(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt,\quad\text{então}\quad G'(x)=f\big(g(x)\big)\cdot g'(x).ã

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso.
Na nossa função temos f(t)=\sin t e g(x)=x^{2}. Logo, utilizando a fórmula,
F'(x)=\sin\big(x^{2}\big)\cdot \frac{d}{dx}\big(x^{2}\big).
Agora calcule a derivada de x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.
Portanto
F'(x)=2x\,\sin\big(x^{2}\big).

Passo 4

Exemplo rápido para fixar (bem simples).
Se tivéssemos G(x)=\int_{0}^{x^{3}} e^{t}\,dt, pela mesma regra seria
G'(x)=e^{x^{3}}\cdot 3x^{2},
ou seja, avaliamos e^{t} em t=x^{3} e multiplicamos pela derivada de x^{3}, que é 3x^{2}. Isso ilustra a aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo + regra da cadeia.

Passo 5

Avaliar F'(x) no ponto pedido.
Já temos F'(x)=2x\,\sin\big(x^{2}\big). Tomando x=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} obtemos
x^{2}=\left(\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\right)^{2}=\dfrac{\pi}{2},
portanto
\sin\big(x^{2}\big)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
Logo
F'\!\left(\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\right)=2\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\cdot 1=2\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}.
Podemos simplificar 2\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}:
2\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}=\sqrt{2\pi}.

Resposta

\sqrt{2\pi}

Exercícios relacionados