Sendo
sen
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
.
Informações relevantes:
- A integral tem limite inferior constante
e limite superior variável . - A função integranda é
. - O ponto onde queremos a derivada é
.
Passo 2
Entendimento da ferramenta que vamos usar (explicado passo a passo).
Se tivermos uma função definida por uma integral com limite superior dependente de ,
Se tivermos uma função definida por uma integral com limite superior dependente de
duas ideias-chave valem:
- Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), a derivada da função primitiva
é . Em outras palavras, derivar uma integral em relação ao seu limite superior retorna o integrando avaliado nesse limite. - Se o limite superior é uma função
, então devemos aplicar a regra da cadeia: a derivada de é .
Juntando as duas ideias obtemos a fórmula prática:
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso.
Na nossa função temos e
. Logo, utilizando a fórmula,
Na nossa função temos
Agora calcule a derivada de
:
Portanto
Passo 4
Exemplo rápido para fixar (bem simples).
Se tivéssemos , pela mesma regra seria
Se tivéssemos
ou seja, avaliamos
em
e multiplicamos pela derivada de
, que é
. Isso ilustra a aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo + regra da cadeia.
Passo 5
Avaliar
no ponto pedido.
Já temos . Tomando
obtemos
Já temos
portanto
Logo
Podemos simplificar
: