(2,0 pontos) Calcule a integral imprópria abaixo.
integral2^5 d x(x-4)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral imprópria de 1(x-4)^2 no intervalo de 2 a 5. O conteúdo aqui é sobre integrais impróprias, que são integrais que envolvem funções que não são bem definidas em algum ponto do intervalo de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com pontos onde a função pode ter descontinuidade ou assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função 1(x-4)^2 pode ter problemas. Observando o denominador, vemos que quando x = 4, o denominador se torna zero, o que faz a função não estar definida nesse ponto. Isso significa que temos uma descontinuidade em x = 4 dentro do nosso intervalo de integração de 2 a 5.

Passo 3

Como a função não está definida em x = 4, a integral se torna imprópria nesse ponto. Para calcular a integral imprópria, precisamos dividir o intervalo de integração em duas partes: de 2 a 4 e de 4 a 5. Então, a integral original pode ser escrita como:
integral2^5 dx(x-4)^2 = integral2^4 dx(x-4)^2 + integral4^5 dx(x-4)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente, usando limites para lidar com a descontinuidade em x = 4.
Primeiro, para integral2^4 dx(x-4)^2, vamos definir um limite quando x se aproxima de 4 pela esquerda:
limt to 4^- integral2^t dx(x-4)^2
A antiderivada de 1(x-4)^2 é -1x-4, então:
limt to 4^- [ -1t-4 + 12-4 ] = limt to 4^- ( -1t-4 - 1-2 ) = limt to 4^- ( -1t-4 + 12 )
À medida que t se aproxima de 4 pela esquerda, t-4 se aproxima de 0 por valores negativos, então -1t-4 tende ao infinito positivo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda parte: integral4^5 dx(x-4)^2. Novamente, usamos um limite quando x se aproxima de 4 pela direita:
limt to 4^+ integralt^5 dx(x-4)^2
Usando a antiderivada:
limt to 4^+ [ -15-4 + 1t-4 ] = limt to 4^+ ( -1 + 1t-4 )
Aqui, à medida que t se aproxima de 4 pela direita, t-4 se aproxima de 0 por valores positivos, então 1t-4 tende ao infinito positivo.

Passo 6

Como ambas as integrais separadas tendem ao infinito positivo, isso significa que a integral imprópria original também tende ao infinito. Ou seja, não existe um valor finito para essa integral no intervalo dado.

Resposta

A integral não converge; ela tende ao infinito.

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