i. Prove that every pair of distinct lines in \mathbf{P}^{2} has a common perpendicular. Only a slight modification of your proof of Theorem 4.10 is required.
ii. Find the common perpendicular to the lines x_{1}+2 x_{2}=0 and $2 x_{2}-x_{3}=0.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos dado.
  • Pedido (i): provar que todo par de rectas distintas em \mathbf{P}^{2} possui uma perpendicular comum.
  • Pedido (ii): encontrar explicitamente a perpendicular comum às rectas \;x_{1}+2x_{2}=0\; e \;2x_{2}-x_{3}=0.
Informações relevantes (assunções padrão para este tipo de problema):
  • Trabalhamos no plano projectivo real \mathbf{P}^{2} equipado com a cónica absoluta dada por
\Omega:\;x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0,
que induz uma polaridade (associação ponto \leftrightarrow recta) dada pela matriz diagonal
S=\operatorname{diag}(1,1,-1).
  • Dados em coordenadas homogéneas: uma recta tem equação u_{1}x_{1}+u_{2}x_{2}+u_{3}x_{3}=0 com vector de coeficientes u=(u_{1},u_{2},u_{3})^{T}. O polo (o ponto associado) dessa recta é S^{-1}u. De modo dual, o polar de um ponto p=(p_{1},p_{2},p_{3})^{T} é a recta com coeficientes S p.
  • Lembrete do que vamos usar: a recta n é perpendicular a uma recta l relativamente à cónica \Omega exactamente quando o polo de n pertence a l. Vou usar essa caracterização e propriedades elementares da polaridade para construir a perpendicular comum.

Passo 2

Explicação didática da polaridade e da condição de perpendicularidade (passo a passo, sem pular etapas).
  • A cónica \Omega é representada pela forma quadrática Q(x)=x^{T}Sx com S=\operatorname{diag}(1,1,-1). Para qualquer ponto p=(p_{1},p_{2},p_{3})^{T} definimos a sua polar (uma recta) por
\operatorname{polar}(p):\; p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-p_{3}x_{3}=0,
isto é, em notação de coeficientes a recta tem o vector Sp.
  • Inversamente, para uma recta com vector de coeficientes u=(u_{1},u_{2},u_{3})^{T} o seu polo é o ponto
\operatorname{polo}(u)=S^{-1}u.
No nosso caso S^{-1}=S, porque S é diagonal com entradas \pm1.
  • Propriedade importante (que usamos como definição prática de perpendicularidade): duas rectas com vetores de coeficientes u e v são perpendiculares exactamente quando
u^{T}S^{-1}v=0.
Vou traduzir isso geometricamente: u^{T}S^{-1}v=0 é a condição que diz que o polo de v pertence à recta u. Ou seja,
\operatorname{polo}(v)\in \text{recta }u \quad\Longleftrightarrow\quad u^{T}(S^{-1}v)=0.
Assim, a verificação algebraica da perp. é equivalente a uma condição de incidência simples (um ponto está numa recta). Esta equivalência é a chave: uma recta n é perpendicular a l se, e só se, \operatorname{polo}(n)\in l.

Passo 3

Prova do item (i): construção da perpendicular comum a duas rectas quaisquer.
  • Seja l e m duas rectas distintas em \mathbf{P}^{2}. Como estamos no plano projectivo, l e m intersectam-se em exactamente um ponto projectivo
P := l\cap m.
  • Considere a recta n:=\operatorname{polar}(P), ou seja, a polar de P relativamente à cónica \Omega. Vamos mostrar que n é perpendicular a l e a m.
  • Pelo dualismo da polaridade, o polo de n é precisamente P:
\operatorname{polo}(n)=S^{-1}(Sp)=p.
  • Como P foi escolhido como a interseção l\cap m, temos P\in l e P\in m. Então, pela caracterização da perpendicularidade (passo anterior), n é perpendicular a l porque \operatorname{polo}(n)=P\in l; semelhantemente n é perpendicular a m.
  • Conclusão: para quaisquer rectas distintas l e m a recta n=\operatorname{polar}(l\cap m) é uma perpendicular comum. Isto prova (i). (Observação: a construção é única — a polar do ponto de intersecção — portanto a perpendicular comum assim obtida é a única que surge por esta construção.)

Passo 4

Resumo do método (para usar na prova ou na prova escrita rapidamente).
  • Passo prático: dado l e m,
    1. calcular P=l\cap m;
    2. tomar n=\operatorname{polar}(P) (isto é, aplicar a matriz S ao vector de coordenadas homogéneas de P);
    3. então n é perpendicular a l e a m.

Passo 5

Aplicação ao item (ii): cálculo explícito da perpendicular comum às rectas dadas.
  • As rectas são
l_1:\;x_{1}+2x_{2}=0
e
l_2:\;2x_{2}-x_{3}=0.
Vou escrever os vectores de coeficientes: [u=(1,2,0)^{T}) para l_{1} e v=(0,2,-1)^{T} para l_{2}.
  • Primeiro encontro o ponto de intersecção P=l_{1}\cap l_{2}. Em coordenadas homogéneas resolvo o sistema:
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}=0,\\[4pt] 2x_{2}-x_{3}=0. \end{cases}
Da segunda equação x_{3}=2x_{2}\]. Da primeira \(x_{1}=-2x_{2}. Posso escolher x_{2}=1 como representante homogéneo. Assim um representante para P é
P = (-2,\,1,\,2)^{T}.
  • Agora construo a polar de P. Como a polar tem vectores de coeficientes S P e S=\operatorname{diag}(1,1,-1), tem-se
S P = ( -2,\;1,\;-2)^{T}.
Logo a equação da recta polar (a perpendicular comum) é
-2x_{1}+x_{2}-2x_{3}=0.
Multiplicando por -1 para ficar mais agradável, obtemos a forma equivalente
2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0.
  • Verificação rápida (consistência): o polo dessa recta é S^{-1}( -2,1,-2)^{T}=(-2,1,2)^{T}=P, que de facto pertence a l_{1} e a l_{2} por construção, logo a recta é perpendicular a ambas.]

Resposta

(i) A perpendicular comum é a polar do ponto l\cap m relativamente à cónica \Omega:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0.
(ii) 2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0

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