i. Prove that every pair of distinct lines in
has a common perpendicular. Only a slight modification of your proof of Theorem 4.10 is required.
ii. Find the common perpendicular to the lines
and $2 x_{2}-x_{3}=0.
ii. Find the common perpendicular to the lines
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos dado.
- Pedido (i): provar que todo par de rectas distintas em
possui uma perpendicular comum. - Pedido (ii): encontrar explicitamente a perpendicular comum às rectas
e .
Informações relevantes (assunções padrão para este tipo de problema):
- Trabalhamos no plano projectivo real
equipado com a cónica absoluta dada por
que induz uma polaridade (associação ponto
recta) dada pela matriz diagonal
- Dados em coordenadas homogéneas: uma recta tem equação
com vector de coeficientes . O polo (o ponto associado) dessa recta é . De modo dual, o polar de um ponto é a recta com coeficientes . - Lembrete do que vamos usar: a recta
é perpendicular a uma recta relativamente à cónica exactamente quando o polo de pertence a . Vou usar essa caracterização e propriedades elementares da polaridade para construir a perpendicular comum.
Passo 2
Explicação didática da polaridade e da condição de perpendicularidade (passo a passo, sem pular etapas).
- A cónica
é representada pela forma quadrática com . Para qualquer ponto definimos a sua polar (uma recta) por
isto é, em notação de coeficientes a recta tem o vector
.
- Inversamente, para uma recta com vector de coeficientes
o seu polo é o ponto
No nosso caso
, porque
é diagonal com entradas
.
- Propriedade importante (que usamos como definição prática de perpendicularidade): duas rectas com vetores de coeficientes
e são perpendiculares exactamente quando
Vou traduzir isso geometricamente:
é a condição que diz que o polo de
pertence à recta
. Ou seja,
Assim, a verificação algebraica da perp. é equivalente a uma condição de incidência simples (um ponto está numa recta). Esta equivalência é a chave: uma recta
é perpendicular a
se, e só se,
.
Passo 3
Prova do item (i): construção da perpendicular comum a duas rectas quaisquer.
- Seja
e duas rectas distintas em . Como estamos no plano projectivo, e intersectam-se em exactamente um ponto projectivo
- Considere a recta
, ou seja, a polar de relativamente à cónica . Vamos mostrar que é perpendicular a e a . - Pelo dualismo da polaridade, o polo de
é precisamente :
- Como
foi escolhido como a interseção , temos e . Então, pela caracterização da perpendicularidade (passo anterior), é perpendicular a porque ; semelhantemente é perpendicular a . - Conclusão: para quaisquer rectas distintas
e a recta é uma perpendicular comum. Isto prova (i). (Observação: a construção é única — a polar do ponto de intersecção — portanto a perpendicular comum assim obtida é a única que surge por esta construção.)
Passo 4
Resumo do método (para usar na prova ou na prova escrita rapidamente).
- Passo prático: dado
e , - calcular
; - tomar
(isto é, aplicar a matriz ao vector de coordenadas homogéneas de ); - então
é perpendicular a e a .
- calcular
Passo 5
Aplicação ao item (ii): cálculo explícito da perpendicular comum às rectas dadas.
- As rectas são
e
Vou escrever os vectores de coeficientes: [u=(1,2,0)^{T}) para
e
para
.
- Primeiro encontro o ponto de intersecção
. Em coordenadas homogéneas resolvo o sistema:
Da segunda equação
. Posso escolher
como representante homogéneo. Assim um representante para
é
- Agora construo a polar de
. Como a polar tem vectores de coeficientes e , tem-se
Logo a equação da recta polar (a perpendicular comum) é
Multiplicando por
para ficar mais agradável, obtemos a forma equivalente
- Verificação rápida (consistência): o polo dessa recta é
, que de facto pertence a e a por construção, logo a recta é perpendicular a ambas.]
Resposta
(i) A perpendicular comum é a polar do ponto
relativamente à cónica
.
(ii)