(3,0 pontos) Calcule a derivada da função f(x)=x^{2}+2 x-1 usando a DEFINIÇÃO.
f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f usando a definição pela diferença quociente. As informações dadas são:
  • A função é f(x)=x^{2}+2x-1.
  • A definição da derivada fornecida é
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.
O que se pede explicitamente: aplicar essa definição (expandir, simplificar o quociente e tomar o limite) para obter f^{\prime}(x).

Passo 2

Calcular f(x+\Delta x). Isso significa substituir x por x+\Delta x na expressão de f:
f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^{2}+2(x+\Delta x)-1.
Agora expandimos os termos para facilitar a simplificação:
(x+\Delta x)^{2}=x^{2}+2x\,\Delta x+(\Delta x)^{2},
então
f(x+\Delta x)=x^{2}+2x\,\Delta x+(\Delta x)^{2}+2x+2\Delta x-1.

Passo 3

Calcular a diferença f(x+\Delta x)-f(x). Lembrando que f(x)=x^{2}+2x-1, subtraímos:
\begin{aligned} f(x+\Delta x)-f(x)&=\bigl(x^{2}+2x\,\Delta x+(\Delta x)^{2}+2x+2\Delta x-1\bigr)\\\ &\quad -\bigl(x^{2}+2x-1\bigr). \end{aligned}
Agora cancelamos os termos iguais x^{2}, 2x e -1:
f(x+\Delta x)-f(x)=2x\,\Delta x+(\Delta x)^{2}+2\Delta x.

Passo 4

Formar o quociente \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} e simplificar por \Delta x (assumindo \Delta x\neq0 enquanto fazemos a álgebra):
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{2x\,\Delta x+(\Delta x)^{2}+2\Delta x}{\Delta x}.
Fatorando \Delta x no numerador:
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\Delta x\bigl(2x+\Delta x+2\bigr)}{\Delta x}.
Cancelando \Delta x (válido para \Delta x\neq0):
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=2x+\Delta x+2.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando \Delta x tende a 0:
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\bigl(2x+\Delta x+2\bigr).
Aqui usamos a propriedade de que o limite de uma soma é a soma dos limites e que a função identidade \Delta x\mapsto\Delta x é contínua, logo
\lim_{\Delta x\to 0}\Delta x=0.
Portanto o limite é obtido substituindo \Delta x por 0 na expressão:
\lim_{\Delta x\to 0}\bigl(2x+\Delta x+2\bigr)=2x+0+2.

Passo 6

Interpretação breve e check didático: a derivada mede a inclinação da reta tangente em cada ponto x. Aqui, a contribuição de x^{2} 2x, a de 2x 2 e a constante -1 não contribui (derivada zero). Isso confirma o resultado do procedimento pelo limite.

Resposta

f^{\prime}(x)=2x+2

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