(3,0 pontos) Calcule a derivada da função
usando a DEFINIÇÃO.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
usando a definição pela diferença quociente. As informações dadas são:
- A função é
. - A definição da derivada fornecida é
O que se pede explicitamente: aplicar essa definição (expandir, simplificar o quociente e tomar o limite) para obter
.
Passo 2
Calcular
. Isso significa substituir
por
na expressão de
:
Agora expandimos os termos para facilitar a simplificação:
então
Passo 3
Calcular a diferença
. Lembrando que
, subtraímos:
Agora cancelamos os termos iguais
,
e
:
Passo 4
Formar o quociente
e simplificar por
(assumindo
enquanto fazemos a álgebra):
Fatorando
no numerador:
Cancelando
(válido para
):
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
tende a
:
Aqui usamos a propriedade de que o limite de uma soma é a soma dos limites e que a função identidade
é contínua, logo
Portanto o limite é obtido substituindo
por
na expressão:
Passo 6
Interpretação breve e check didático: a derivada mede a inclinação da reta tangente em cada ponto
. Aqui, a contribuição de
dá
, a de
dá
e a constante
não contribui (derivada zero). Isso confirma o resultado do procedimento pelo limite.