Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do cone
e abaixo da esfera
.
Acima do cone
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies em
e pede o volume do sólido que está:
- acima do cone
, - e abaixo da esfera
.
Informações relevantes fornecidas:
- Equação do cone:
. - Equação da esfera:
(esfera de raio centrada na origem). - A região é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades (acima do cone e abaixo da esfera).
- O que se pede: o volume desse sólido.
Passo 2
Por causa da simetria em torno do eixo
(as equações usam
), é muito natural usar coordenadas cilíndricas (às vezes chamadas coordenadas polares no plano
+
). Vou explicar como funcionam e por que são úteis.
Definição e elemento de volume:
- Nas coordenadas cilíndricas usamos
com - O elemento de área no plano
é . Por isso o elemento de volume é Intuição rápida: um pequeno retângulo em tem largura aproximada e comprimento aproximado , então a área é .
Agora escrevemos as superfícies nessas coordenadas:
- O cone
vira . - A esfera
vira , isto é .
A região pedida fica entre a superfície superior
(parte superior da esfera) e a superfície inferior
(o cone), com
variando num intervalo que teremos que determinar, e
variando em todo
por causa da simetria.
Passo 3
Determinar o intervalo de
: precisamos encontrar até que valor de
o cone e a esfera se intersectam; para valores maiores de
a esfera já não tem pontos com
maiores que o cone.
Interseção: igualamos as duas superfícies (pegando a parte positiva da esfera, já que
):
Elevando ao quadrado:
Como
, temos
Portanto
varia de
até
. E
varia de
até
.
Passo 4
Montar a integral do volume. Em coordenadas cilíndricas, integrando
primeiro:
Integramos em
(a integral em
é trivial porque
é constante em relação a
):
Logo a integral reduz-se a
Posso separar a parte angular porque o integrando não depende de
:
Passo 5
Calcular a integral radial. Chamo
Primeiro termo: use a substituição
. Então
, ou
.
- Quando
temos . - Quando
temos .
Portanto
Agora a primitiva de
é
, então
Calculemos as potências:
Logo o primeiro termo vale
Segundo termo:
Subtraindo:
Agora multiplicamos pelo fator angular
:
Fatorando
: