Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e abaixo da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies em \mathbb{R}^3 e pede o volume do sólido que está:
  • acima do cone \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;,
  • e abaixo da esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=16\;.
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação do cone: \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;.
  • Equação da esfera: \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=16\; (esfera de raio 4 centrada na origem).
  • A região é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades (acima do cone e abaixo da esfera).
  • O que se pede: o volume desse sólido.

Passo 2

Por causa da simetria em torno do eixo z (as equações usam x^{2}+y^{2}), é muito natural usar coordenadas cilíndricas (às vezes chamadas coordenadas polares no plano xy + z). Vou explicar como funcionam e por que são úteis.
Definição e elemento de volume:
  • Nas coordenadas cilíndricas usamos (r,\theta,z) com x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z.
  • O elemento de área no plano xy é r\,dr\,d\theta. Por isso o elemento de volume é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.Intuição rápida: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem largura aproximada dr e comprimento aproximado r\,d\theta, então a área é r\,dr\,d\theta.
Agora escrevemos as superfícies nessas coordenadas:
  • O cone \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; vira \;z=r\;.
  • A esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=16\; vira \;r^{2}+z^{2}=16, isto é \;z=\pm\sqrt{16-r^{2}}\;.
A região pedida fica entre a superfície superior \;z=\sqrt{16-r^{2}}\; (parte superior da esfera) e a superfície inferior \;z=r\; (o cone), com r variando num intervalo que teremos que determinar, e \theta variando em todo [0,2\pi] por causa da simetria.

Passo 3

Determinar o intervalo de r: precisamos encontrar até que valor de r o cone e a esfera se intersectam; para valores maiores de r a esfera já não tem pontos com z maiores que o cone.
Interseção: igualamos as duas superfícies (pegando a parte positiva da esfera, já que z=r\ge0):
r = \sqrt{16 - r^{2}}.
Elevando ao quadrado:
r^{2} = 16 - r^{2}\quad\Rightarrow\quad 2r^{2}=16\quad\Rightarrow\quad r^{2}=8.
Como r\ge0, temos
r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
Portanto r varia de 0 até 2\sqrt{2}. E \theta varia de 0 até 2\pi.

Passo 4

Montar a integral do volume. Em coordenadas cilíndricas, integrando z primeiro:
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2\sqrt{2}}\int_{z=r}^{\sqrt{16-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Integramos em z (a integral em z é trivial porque r é constante em relação a z):
\int_{z=r}^{\sqrt{16-r^{2}}} r\,dz = r\bigl(\sqrt{16-r^{2}}-r\bigr).
Logo a integral reduz-se a
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\sqrt{2}} r\bigl(\sqrt{16-r^{2}}-r\bigr)\,dr\,d\theta.
Posso separar a parte angular porque o integrando não depende de \theta:
V=2\pi\int_{0}^{2\sqrt{2}} \bigl[r\sqrt{16-r^{2}}-r^{2}\bigr]\,dr.

Passo 5

Calcular a integral radial. Chamo
I=\int_{0}^{2\sqrt{2}} \bigl[r\sqrt{16-r^{2}}-r^{2}\bigr]\,dr = \int_{0}^{2\sqrt{2}} r\sqrt{16-r^{2}}\,dr \;-\; \int_{0}^{2\sqrt{2}} r^{2}\,dr.
Primeiro termo: use a substituição u=16-r^{2}. Então du=-2r\,dr, ou r\,dr=-\tfrac{1}{2}\,du.
  • Quando r=0 temos u=16.
  • Quando r=2\sqrt{2} temos u=8.
Portanto
\int_{0}^{2\sqrt{2}} r\sqrt{16-r^{2}}\,dr = -\tfrac{1}{2}\int_{u=16}^{8} u^{1/2}\,du = \tfrac{1}{2}\int_{u=8}^{16} u^{1/2}\,du.
Agora a primitiva de u^{1/2} é \tfrac{2}{3}u^{3/2}, então
\int_{0}^{2\sqrt{2}} r\sqrt{16-r^{2}}\,dr = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{8}^{16} = \tfrac{1}{3}\bigl(16^{3/2}-8^{3/2}\bigr).
Calculemos as potências:
16^{3/2}=(\sqrt{16})^{3}=4^{3}=64,\qquad 8^{3/2}=(\sqrt{8})^{3}=(2\sqrt{2})^{3}=8\cdot2\sqrt{2}=16\sqrt{2}.
Logo o primeiro termo vale
\int_{0}^{2\sqrt{2}} r\sqrt{16-r^{2}}\,dr = \tfrac{1}{3}\bigl(64-16\sqrt{2}\bigr).
Segundo termo:
\int_{0}^{2\sqrt{2}} r^{2}\,dr = \left[\tfrac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2\sqrt{2}} = \tfrac{(2\sqrt{2})^{3}}{3} = \tfrac{16\sqrt{2}}{3}.
Subtraindo:
I = \tfrac{1}{3}\bigl(64-16\sqrt{2}\bigr) - \tfrac{16\sqrt{2}}{3} = \tfrac{1}{3}\bigl(64 -16\sqrt{2} -16\sqrt{2}\bigr) = \tfrac{1}{3}\bigl(64 -32\sqrt{2}\bigr).
Agora multiplicamos pelo fator angular 2\pi:
V = 2\pi\cdot I = 2\pi\cdot \tfrac{1}{3}\bigl(64 -32\sqrt{2}\bigr) = \tfrac{2\pi}{3}\bigl(64 -32\sqrt{2}\bigr).
Fatorando 64:
V = \tfrac{64\pi}{3}\bigl(2-\sqrt{2}\bigr).

Resposta

\dfrac{64\pi\bigl(2-\sqrt{2}\bigr)}{3}

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