Primeira Questão( 3,0 \mathrm{pts} ): Se a densidade de massa de S é dada por \rho(x, y, z)=z, calcule sua massa total.

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de massa
\rho(x,y,z)=z
e pede para “calcular sua massa total”. As informações que temos explicitamente são:
  • A função densidade \rho(x,y,z)=z.
Informação que falta e que é crucial:
  • Não foi especificado o conjunto S ao qual essa densidade se aplica (ou seja, não foi dada a região sólida ou superfície S). Sem saber o que é S — por exemplo, um cubo, uma bola, uma região entre superfícies, ou uma superfície bidimensional — não é possível calcular um valor numérico para a massa total.
Portanto, não dá para obter um número final enquanto o conjunto S não for informado. Vou, contudo, ensinar com calma e passo a passo como calcular a massa se S for um sólido (região 3D) ou uma superfície (região 2D embutida em \mathbb{R}^3), e mostrar exemplos concretos para você ver o procedimento na prova.

Passo 2

Conceito e fórmula para o caso mais comum: S é um sólido (região tridimensional)
  • Quando S é um sólido em \mathbb{R}^3 com densidade volumétrica \rho(x,y,z), a massa total M é dada pelo integral triplo
M=\iiint_{S}\rho(x,y,z)\,dV.
  • Aqui \rho(x,y,z) é a densidade em cada ponto (massa por unidade de volume). A diferencial dV representa um elemento de volume (um “pequeno cubinho” de volume).
  • Interpretação prática: somar (integrar) a densidade em cada pedacinho de volume ao longo de todo o sólido.
Como proceder na prova (passos práticos):
  1. Descrever geometricamente S — encontrar equações que definam as fronteiras (topo/baixo/lados).
  2. Escolher uma ordem de integração ( dz\,dy\,dx, ou outra) ou coordenadas convenientes (cartesianas, cilíndricas, esféricas).
  3. Escrever os limites de integração correspondentes e calcular o integral.
  4. Se a densidade for simples (como \rho=z), muitas vezes a integração em z é direta.

Passo 3

Caso prático padrão: S dado por pontos entre duas superfícies z=a(x,y) e z=b(x,y) sobre uma base D no plano xy
  • Se S=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\\ a(x,y)\le z\le b(x,y)\}, então
M=\iint_{D}\left(\int_{a(x,y)}^{b(x,y)}\rho(x,y,z)\,dz\right)dA.
  • Para \rho(x,y,z)=z a integral interna é simples:
\int_{a(x,y)}^{b(x,y)} z\,dz=\frac{1}{2}\big(b(x,y)^2-a(x,y)^2\big).
  • Depois integra-se essa expressão sobre D.
Explicando as variáveis:
  • D é a projeção de S no plano xy.
  • dA é um elemento de área no plano xy (por exemplo dx\,dy).

Passo 4

Exemplo 1 (ilustrativo, para prática): S = cubo unitário \{0\le x\le1,\\\ 0\le y\le1,\\\ 0\le z\le1\}
  • Aqui a densidade é \rho=z.
  • Monta-se o integral triplo em coordenadas cartesianas:
M=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} z\,dz\,dy\,dx.
  • Calcule passo a passo:
    • Integral em z: \displaystyle \int_{0}^{1} z\,dz=\left.\frac{1}{2}z^{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
    • Agora sobra \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{1}{2}\,dy\,dx=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}.
  • Resultado do exemplo: M=\dfrac{1}{2}.
Esse exemplo mostra o formato do raciocínio que se pede na prova: integrar primeiro na variável em que a densidade é simples (aqui z), depois multiplicar/ integrar sobre a base.

Passo 5

Exemplo 2 (quando é conveniente mudar de coordenadas): S = cilindro circular direito unitário com 0\le z\le 1 e x^{2}+y^{2}\le 1
  • Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) vale x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta e dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
  • A densidade \rho=z permanece \rho=z.
  • Monta-se o integral:
M=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{1} z\cdot r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Calcule:
    • Integral em z: \displaystyle \int_{0}^{1} z\,dz=\frac{1}{2}.
    • Fica \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \frac{1}{2}\,r\,dr\,d\theta.
    • Integral em r: \displaystyle \int_{0}^{1} r\,dr=\frac{1}{2}.
    • Integral em \theta: \displaystyle \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
    • Multiplicando: M=2\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{2}.
  • Resultado do exemplo: M=\dfrac{\pi}{2}.
Esse exemplo ilustra o uso de coordenadas cilíndricas quando a região tem simetria circular.

Passo 6

Caso alternativo: se S for uma superfície (2D) em \mathbb{R}^3
  • Às vezes S é uma superfície e a densidade dada é uma densidade superficial (massa por unidade de área) ainda indicada por \rho(x,y,z). Então a massa é dada pelo integral de superfície
M=\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS,
onde dS é o elemento de área da superfície.
  • Exemplo simples: se S é o disco plano z=1 com x^{2}+y^{2}\le 1, então dS=dA (porque a superfície é horizontal) e \rho=z=1. Assim
M=\iint_{S}1\,dS=\text{área}(S)=\pi\cdot 1^{2}=\pi.á
  • Para superfícies curvas a expressão de dS envolve \sqrt{1+f_x^2+f_y^2} se a superfície for dada por z=f(x,y).

Passo 7

Resumo e conclusão prática para a sua prova
  • O procedimento sempre é:
    1. Identificar se S é um sólido (usar integral triplo) ou uma superfície (usar integral de superfície).
    2. Escrever \displaystyle M=\iiint_{S}\rho\,dV (sólido) ou \displaystyle M=\iint_{S}\rho\,dS (superfície).
    3. Escolher coordenadas e limites adequados; integrar primeiro onde a densidade seja simples.
    4. Para \rho=z, a integral em z \tfrac{1}{2}z^{2} avaliada nos limites em z.
Importante: sem a descrição de S não se pode avaliar o integral e, portanto, não se pode fornecer um valor numérico para a massa total.

Resposta

Não é possível determinar a massa total porque o conjunto S (a região sólida ou a superfície sobre a qual integrar) não foi especificado.

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