Primeira Questão( 3,0 \mathrm{pts} ): Se a densidade de massa de S é dada por \rho(x, y, z)=z, calcule sua massa total.
Passo 1
O enunciado fornece a densidade de massa \rho(x,y,z)=z
e pede para “calcular sua massa total”. As informações que temos explicitamente são:
A função densidade \rho(x,y,z)=z.
Informação que falta e que é crucial:
Não foi especificado o conjunto S ao qual essa densidade se aplica (ou seja, não foi dada a região sólida ou superfície S). Sem saber o que é S — por exemplo, um cubo, uma bola, uma região entre superfícies, ou uma superfície bidimensional — não é possível calcular um valor numérico para a massa total.
Portanto, não dá para obter um número final enquanto o conjunto S não for informado. Vou, contudo, ensinar com calma e passo a passo como calcular a massa se S for um sólido (região 3D) ou uma superfície (região 2D embutida em \mathbb{R}^3), e mostrar exemplos concretos para você ver o procedimento na prova.
Passo 2
Conceito e fórmula para o caso mais comum: S é um sólido (região tridimensional)
Quando S é um sólido em \mathbb{R}^3 com densidade volumétrica \rho(x,y,z), a massa total M é dada pelo integral triplo
M=\iiint_{S}\rho(x,y,z)\,dV.
Aqui \rho(x,y,z) é a densidade em cada ponto (massa por unidade de volume). A diferencial dV representa um elemento de volume (um “pequeno cubinho” de volume).
Interpretação prática: somar (integrar) a densidade em cada pedacinho de volume ao longo de todo o sólido.
Como proceder na prova (passos práticos):
Descrever geometricamente S — encontrar equações que definam as fronteiras (topo/baixo/lados).
Escolher uma ordem de integração (dz\,dy\,dx, ou outra) ou coordenadas convenientes (cartesianas, cilíndricas, esféricas).
Escrever os limites de integração correspondentes e calcular o integral.
Se a densidade for simples (como \rho=z), muitas vezes a integração em z é direta.
Passo 3
Caso prático padrão: S dado por pontos entre duas superfícies z=a(x,y) e z=b(x,y) sobre uma base D no plano xy
Se S=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\\ a(x,y)\le z\le b(x,y)\}, então
Esse exemplo mostra o formato do raciocínio que se pede na prova: integrar primeiro na variável em que a densidade é simples (aqui z), depois multiplicar/ integrar sobre a base.
Passo 5
Exemplo 2 (quando é conveniente mudar de coordenadas): S = cilindro circular direito unitário com 0\le z\le 1 e x^{2}+y^{2}\le 1
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) vale x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta e dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
Esse exemplo ilustra o uso de coordenadas cilíndricas quando a região tem simetria circular.
Passo 6
Caso alternativo: se S for uma superfície (2D) em \mathbb{R}^3
Às vezes S é uma superfície e a densidade dada é uma densidade superficial (massa por unidade de área) ainda indicada por \rho(x,y,z). Então a massa é dada pelo integral de superfície
M=\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS,
onde dS é o elemento de área da superfície.
Exemplo simples: se S é o disco plano z=1 com x^{2}+y^{2}\le 1, então dS=dA (porque a superfície é horizontal) e \rho=z=1. Assim