(1.0 pontos) Calcule \int_{S} \int \vec{F} \overrightarrow{d S} se
\vec{F}(x, y, z)=4 \operatorname{sinh} (y z) e^{y^{\prime}} \vec{i}+9 y \vec{j}+x^{2} \operatorname{cosh} \left(x^{2} y\right) \vec{k} e S é a superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou escrever exatamente o que veio e anotar uma observação sobre uma possível notação estranha):
  • Campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=4\operatorname{sinh}(yz)\,e^{y'}\,\vec{i}+9y\,\vec{j}+x^{2}\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}y\bigr)\,\vec{k}.
  • Superfície S é a superfície da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.
  • O que se pede: calcular o fluxo de \vec{F} através de S, isto é
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}.
Observação sobre a notação: no componente em \vec{i} aparece e^{y'}. Isso parece ser um erro tipográfico; vou assumir que a intenção era e^{y}. Continuarei a resolução assumindo que o campo é
\vec{F}(x,y,z)=4\operatorname{sinh}(yz)\,e^{y}\,\vec{i}+9y\,\vec{j}+x^{2}\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}y\bigr)\,\vec{k}.
Se a intenção fosse outra, o resultado poderia mudar; aqui prossigo com essa interpretação razoável.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (em linguagem amigável):
  • Como a superfície S é a superfície fechada de uma esfera (ou seja, é a fronteira de um sólido bem comportado: a bola de raio 4), a ferramenta mais prática para calcular o fluxo é o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss).
  • O Teorema da Divergência diz, de forma simples: o fluxo de \vec{F} através de uma superfície fechada S é igual à integral tripla do divergente de \vec{F} sobre o volume V limitado por S:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
  • Isso costuma economizar trabalho quando \nabla\cdot\vec{F} é simples (por exemplo, uma constante). Vamos aplicar esse teorema.

Passo 3

Explicação do operador divergente e como calculá-lo:
  • O divergente de um campo vetorial \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) é
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
  • Aqui F_1(x,y,z)=4\operatorname{sinh}(yz)\,e^{y}, F_2(x,y,z)=9y e F_3(x,y,z)=x^{2}\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}y\bigr).
  • Vou calcular cada derivada parcial com calma.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais do divergente (passo a passo):
  • Derivada de F_1 em relação a x:
    • F_1 não depende de x (apenas de y e z), portanto
    \frac{\partial}{\partial x}\bigl(4\operatorname{sinh}(yz)\,e^{y}\bigr)=0.Explicação: se uma função não contém a variável x, sua derivada parcial em x é zero.
  • Derivada de F_2 em relação a y: \frac{\partial}{\partial y}(9y)=9.Porque a derivada de ay em relação a y é a.
  • Derivada de F_3 em relação a z:
    • F_3(x,y,z)=x^{2}\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}y\bigr) não depende de z (apenas de x e y), logo
    \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}\operatorname{cosh}(x^{2}y)\bigr)=0.
  • Somando as três partes:
\nabla\cdot\vec{F}=0+9+0=9.
Portanto o divergente é a constante 9 — ótimo, isso deixa a integral tripla muito simples.

Passo 5

Aplicação do Teorema da Divergência e cálculo do volume:
  • Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=\iiint_{V}9\,dV=9\cdot\operatorname{Vol}(V),
onde V é a bola sólida de raio 4 (porque x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 16).
  • Volume de uma bola de raio r é
\operatorname{Vol}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Aqui r=4, então
\operatorname{Vol}(V)=\frac{4}{3}\pi (4)^{3}=\frac{4}{3}\pi \cdot 64=\frac{256}{3}\pi.

Passo 6

Cálculo final do fluxo:
  • Multiplicando:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=9\cdot\frac{256}{3}\pi = 3\cdot 256\pi =768\pi.
  • Resultado intuitivo: como o divergente era constante 9, o fluxo é simplesmente 9 vezes o volume da bola; fizemos essa conta passo a passo.

Resposta

768\pi

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