(1.0 pontos) Calcule \int_{S} \int \vec{F} \overrightarrow{d S} se \vec{F}(x, y, z)=4 \operatorname{sinh} (y z) e^{y^{\prime}} \vec{i}+9 y \vec{j}+x^{2} \operatorname{cosh} \left(x^{2} y\right) \vec{k} e S é a superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou escrever exatamente o que veio e anotar uma observação sobre uma possível notação estranha):
O que se pede: calcular o fluxo de \vec{F} através de S, isto é
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}.
Observação sobre a notação: no componente em \vec{i} aparece e^{y'}. Isso parece ser um erro tipográfico; vou assumir que a intenção era e^{y}. Continuarei a resolução assumindo que o campo é
Se a intenção fosse outra, o resultado poderia mudar; aqui prossigo com essa interpretação razoável.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (em linguagem amigável):
Como a superfície S é a superfície fechada de uma esfera (ou seja, é a fronteira de um sólido bem comportado: a bola de raio 4), a ferramenta mais prática para calcular o fluxo é o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss).
O Teorema da Divergência diz, de forma simples: o fluxo de \vec{F} através de uma superfície fechada S é igual à integral tripla do divergente de \vec{F} sobre o volume V limitado por S:
Aqui F_1(x,y,z)=4\operatorname{sinh}(yz)\,e^{y}, F_2(x,y,z)=9y e F_3(x,y,z)=x^{2}\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}y\bigr).
Vou calcular cada derivada parcial com calma.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais do divergente (passo a passo):
Derivada de F_1 em relação a x:
F_1 não depende de x (apenas de y e z), portanto
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4\operatorname{sinh}(yz)\,e^{y}\bigr)=0.Explicação: se uma função não contém a variável x, sua derivada parcial em x é zero.
Derivada de F_2 em relação a y:\frac{\partial}{\partial y}(9y)=9.Porque a derivada de ay em relação a y é a.
Derivada de F_3 em relação a z:
F_3(x,y,z)=x^{2}\operatorname{cosh}\bigl(x^{2}y\bigr) não depende de z (apenas de x e y), logo