( 2.0 pontos) Encontre a equação do plano tangente à superficie parametrizada x =u, y=u+v, z=u^{2}+v^{2} no ponto ( 1,1,1 ).
Passo 1
O enunciado dá a superfície parametrizada pelas equações
x=u,\qquad y=u+v,\qquad z=u^{2}+v^{2},
e pede: encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto (1,1,1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A parametrização da superfície é \mathbf{r}(u,v)=\bigl(u,\;u+v,\;u^{2}+v^{2}\bigr).
O ponto onde queremos o plano tangente é (1,1,1).
O problema exige a equação cartesiana do plano tangente.
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar os parâmetros (u_{0},v_{0}) que geram o ponto dado. Ou seja, resolver o sistema
u=1,\qquad u+v=1,\qquad u^{2}+v^{2}=1.
Da primeira equação obtemos u=1. Substituindo na segunda:
1+v=1 \quad\Rightarrow\quad v=0.
Verificação na terceira equação:
u^{2}+v^{2}=1^{2}+0^{2}=1,
que coincide com a coordenada z do ponto. Logo os parâmetros do ponto são
(u_{0},v_{0})=(1,0).
Passo 3
Explico a ferramenta que vamos usar: para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v), os vetores \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v} (derivadas parciais) são vetores tangentes à superfície nas direções dos parâmetros u e v. O plano tangente naquele ponto é o plano que contém \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v} aplicados em (u_{0},v_{0}). Um vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n}=\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}.
Tendo \mathbf{n} e o ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) da superfície, a equação do plano é
Verificação rápida: o ponto (1,1,1) satisfaz z=2\cdot1-1=1, OK. Observação: a equação não contém y, isto é esperado quando o plano tangente é paralelo ao eixo y (o comportamento da parametrização produz esse efeito aqui).
Passo 8
Dica prática para a prova: rápido checklist
Encontre os parâmetros que geram o ponto.
Calcule \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v}.
Avalie-os no ponto; faça o produto vetorial para obter a normal.
Use \mathbf{n}\cdot(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=0.
Com esse passo a passo você resolve qualquer plano tangente a uma superfície parametrizada.