( 2.0 pontos) Encontre a equação do plano tangente à superficie parametrizada x =u, y=u+v, z=u^{2}+v^{2} no ponto ( 1,1,1 ).

Passo 1

O enunciado dá a superfície parametrizada pelas equações
x=u,\qquad y=u+v,\qquad z=u^{2}+v^{2},
e pede: encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto (1,1,1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A parametrização da superfície é \mathbf{r}(u,v)=\bigl(u,\;u+v,\;u^{2}+v^{2}\bigr).
  • O ponto onde queremos o plano tangente é (1,1,1).
  • O problema exige a equação cartesiana do plano tangente.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar os parâmetros (u_{0},v_{0}) que geram o ponto dado. Ou seja, resolver o sistema
u=1,\qquad u+v=1,\qquad u^{2}+v^{2}=1.
Da primeira equação obtemos u=1. Substituindo na segunda:
1+v=1 \quad\Rightarrow\quad v=0.
Verificação na terceira equação:
u^{2}+v^{2}=1^{2}+0^{2}=1,
que coincide com a coordenada z do ponto. Logo os parâmetros do ponto são
(u_{0},v_{0})=(1,0).

Passo 3

Explico a ferramenta que vamos usar: para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v), os vetores \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v} (derivadas parciais) são vetores tangentes à superfície nas direções dos parâmetros u e v. O plano tangente naquele ponto é o plano que contém \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v} aplicados em (u_{0},v_{0}). Um vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n}=\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}.
Tendo \mathbf{n} e o ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) da superfície, a equação do plano é
\mathbf{n}\cdot\bigl(x-x_{0},\;y-y_{0},\;z-z_{0}\bigr)=0.
Vou calcular \mathbf{r}_{u}, \mathbf{r}_{v}, o produto vetorial e a equação do plano.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais da parametrização:
\mathbf{r}(u,v)=\bigl(u,\;u+v,\;u^{2}+v^{2}\bigr).
Derivando em relação a u:
\mathbf{r}_{u}(u,v)=\left(\frac{\partial x}{\partial u},\;\frac{\partial y}{\partial u},\;\frac{\partial z}{\partial u}\right) =\bigl(1,\;1,\;2u\bigr).
Derivando em relação a v:
\mathbf{r}_{v}(u,v)=\left(\frac{\partial x}{\partial v},\;\frac{\partial y}{\partial v},\;\frac{\partial z}{\partial v}\right) =\bigl(0,\;1,\;2v\bigr).

Passo 5

Avaliar \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v} no ponto (u_{0},v_{0})=(1,0):
\mathbf{r}_{u}(1,0)=\bigl(1,\;1,\;2\cdot 1\bigr)=\bigl(1,\;1,\;2\bigr),
\mathbf{r}_{v}(1,0)=\bigl(0,\;1,\;2\cdot 0\bigr)=\bigl(0,\;1,\;0\bigr).
Estes dois vetores são tangentes à superfície no ponto (1,1,1).

Passo 6

Calcular o vetor normal \mathbf{n}=\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v} usando o determinante:
\mathbf{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo o determinante:
\mathbf{n}=\mathbf{i}\,(1\cdot 0-2\cdot 1)-\mathbf{j}\,(1\cdot 0-2\cdot 0)+\mathbf{k}\,(1\cdot 1-1\cdot 0).
Portanto
\mathbf{n}=(-2)\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k}=\bigl(-2,\;0,\;1\bigr).
Comentário didático rápido: esse vetor é perpendicular a ambos \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v}, logo é normal ao plano tangente.

Passo 7

Agora usamos a equação do plano com normal \mathbf{n}=\bigl(-2,0,1\bigr) e ponto (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,1):
\bigl(-2,0,1\bigr)\cdot\bigl(x-1,\;y-1,\;z-1\bigr)=0.
Fazendo o produto escalar:
-2(x-1)+0\cdot(y-1)+1(z-1)=0.
Simplificando:
-2x+2+z-1=0 \quad\Rightarrow\quad -2x+z+1=0.
Isolando z para uma forma mais direta:
z=2x-1.
Verificação rápida: o ponto (1,1,1) satisfaz z=2\cdot1-1=1, OK. Observação: a equação não contém y, isto é esperado quando o plano tangente é paralelo ao eixo y (o comportamento da parametrização produz esse efeito aqui).

Passo 8

Dica prática para a prova: rápido checklist
  • Encontre os parâmetros que geram o ponto.
  • Calcule \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v}.
  • Avalie-os no ponto; faça o produto vetorial para obter a normal.
  • Use \mathbf{n}\cdot(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=0.
Com esse passo a passo você resolve qualquer plano tangente a uma superfície parametrizada.

Resposta

z=2x-1

Exercícios relacionados