(3.0 pontos) Considere o campo vetorial
a) Mostre que o campo é conservativo.
b) Encontre sua função potencial e verifique a função encontrada.
c) Determine se o campo admite potencial vetor.
d) Calcule o trabalho exercido ao levar uma partícula do ponto (
) ao ponto (
) sobe a ação do campo
.
a) Mostre que o campo é conservativo.
b) Encontre sua função potencial e verifique a função encontrada.
c) Determine se o campo admite potencial vetor.
d) Calcule o trabalho exercido ao levar uma partícula do ponto (
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
e pede quatro coisas:
- (a) mostrar que o campo é conservativo;
- (b) encontrar uma função potencial e verificar que ela gera o campo;
- (c) determinar se o campo admite potencial vetor (ou seja, se existe
tal que ); - (d) calcular o trabalho ao levar uma partícula de
até sob a ação de .
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Componente
. - Componente
. - Componente
. - O caminho para o trabalho não foi especificado (portanto, se for conservativo, o trabalho depende só dos pontos).
Passo 2
Conceito a usar para (a): um campo vetorial
com componentes suficientemente suaves é conservativo se e somente se o rotacional for o vetor nulo em uma região simplesmente conexa. O rotacional é dado por
Vou calcular cada derivada parcial usando
fornecidos.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo em
obtemos:
Passo 4
Conclusão de (a): o rotacional é o vetor nulo em
. Como o domínio natural aqui é todo
, que é simplesmente conexo, isso implica que
é conservativo. (Intuição: rotacional nulo significa ausência de “giro local”, logo existe potencial escalar.)
Passo 5
Método para (b): para achar a função potencial
satisfazendo
, resolvemos o sistema
Integro primeiro a equação em
para obter
até uma função “constante” de
.
Passo 6
Integração em
:
onde
é uma função arbitrária que pode depender de
e
(pois a derivada parcial em
de
é zero).
Agora uso a condição
. Calculo
a partir da expressão obtida:
Igualando ao
dado:
Integrando essa relação em
:
onde
é uma função arbitrária de
.
Portanto
Passo 7
Agora uso a terceira condição
. Calculo:
Igualando ao
dado:
Logo
é constante:
.
Assim uma função potencial é
Para simplicidade podemos escolher
, ficando
.
Passo 8
Verificação pedida em (b): calcular o gradiente de
e mostrar que volta
.
-
. -
. -
.
Portanto
. Verificado.
Passo 9
Questão (c) sobre potencial vetor: existe
tal que
?
Condição necessária (e localmente suficiente em regiões apropriadas) para existência de potencial vetor é que
, porque
sempre. Vou calcular a divergência de
:
Como
não é identicamente zero em
, a condição necessária falha; portanto não existe vetor potencial
com
definido em toda a região considerada. (Obs.: só poderia existir em regiões onde
, mas isso seria uma restrição muito forte; em geral a resposta é que não admite potencial vetor.)
Passo 10
Cálculo do trabalho pedido em (d): para um campo conservativo, o trabalho
de
até
é a diferença da função potencial entre os pontos finais e iniciais:
Usando
(o
cancela na diferença), tomamos
para facilitar:
Logo
Resposta
(a) Sim, o campo é conservativo.
(b) (escolhendo
:
); verificação:
.
(c) Não; , portanto não existe
tal que
em toda a região.
(d) Trabalho .
(b)
(c) Não;
(d) Trabalho