(3.0 pontos) Considere o campo vetorial \overrightarrow{\mathrm{F}}=2 x y \overrightarrow{\mathrm{i}}+\left(x^{2}+2 y z\right) \overrightarrow{\mathrm{j}}+y^{2} \overrightarrow{\mathrm{k}}
a) Mostre que o campo é conservativo.
b) Encontre sua função potencial e verifique a função encontrada.
c) Determine se o campo admite potencial vetor.
d) Calcule o trabalho exercido ao levar uma partícula do ponto ( 0,0,0 ) ao ponto ( 1,1,2 ) sobe a ação do campo \vec{F}.

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
\overrightarrow{F}(x,y,z)=2xy\,\overrightarrow{i}+\bigl(x^{2}+2yz\bigr)\,\overrightarrow{j}+y^{2}\,\overrightarrow{k}
e pede quatro coisas:
  • (a) mostrar que o campo é conservativo;
  • (b) encontrar uma função potencial e verificar que ela gera o campo;
  • (c) determinar se o campo admite potencial vetor (ou seja, se existe \overrightarrow{A} tal que \nabla\times\overrightarrow{A}=\overrightarrow{F});
  • (d) calcular o trabalho ao levar uma partícula de (0,0,0) até (1,1,2) sob a ação de \overrightarrow{F}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Componente P(x,y,z)=2xy.
  • Componente Q(x,y,z)=x^{2}+2yz.
  • Componente R(x,y,z)=y^{2}.
  • O caminho para o trabalho não foi especificado (portanto, se for conservativo, o trabalho depende só dos pontos).

Passo 2

Conceito a usar para (a): um campo vetorial \overrightarrow{F}=(P,Q,R) com componentes suficientemente suaves é conservativo se e somente se o rotacional for o vetor nulo em uma região simplesmente conexa. O rotacional é dado por
\nabla\times\overrightarrow{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\overrightarrow{i} +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\overrightarrow{j} +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\overrightarrow{k}.
Vou calcular cada derivada parcial usando P,Q,R fornecidos.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias:
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\bigr)=2y.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}+2yz\bigr)=2y.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2xy\bigr)=0.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\bigr)=0.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+2yz\bigr)=2x.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy\bigr)=2x.
Substituindo em \nabla\times\overrightarrow{F} obtemos:
\nabla\times\overrightarrow{F}=(2y-2y)\,\overrightarrow{i}+(0-0)\,\overrightarrow{j}+(2x-2x)\,\overrightarrow{k}=\overrightarrow{0}.

Passo 4

Conclusão de (a): o rotacional é o vetor nulo em \mathbb{R}^{3}. Como o domínio natural aqui é todo \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo, isso implica que \overrightarrow{F} é conservativo. (Intuição: rotacional nulo significa ausência de “giro local”, logo existe potencial escalar.)

Passo 5

Método para (b): para achar a função potencial \varphi(x,y,z) satisfazendo \nabla\varphi=\overrightarrow{F}, resolvemos o sistema
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=2xy,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=x^{2}+2yz,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=y^{2}.
Integro primeiro a equação em x para obter \varphi até uma função “constante” de y,z.

Passo 6

Integração em x:
\varphi(x,y,z)=\int 2xy\,dx = x^{2}y + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função arbitrária que pode depender de y e z (pois a derivada parcial em x de h é zero).
Agora uso a condição \partial\varphi/\partial y = x^{2}+2yz. Calculo \partial\varphi/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y + h(y,z)\bigr)=x^{2}+\frac{\partial h}{\partial y}.
Igualando ao Q dado:
x^{2}+\frac{\partial h}{\partial y}=x^{2}+2yz \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial h}{\partial y}=2yz.
Integrando essa relação em y:
h(y,z)=\int 2yz\,dy = y^{2}z + g(z),
onde g(z) é uma função arbitrária de z.
Portanto
\varphi(x,y,z)=x^{2}y + y^{2}z + g(z).

Passo 7

Agora uso a terceira condição \partial\varphi/\partial z = y^{2}. Calculo:
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}y + y^{2}z + g(z)\bigr)=y^{2}+g'(z).
Igualando ao R dado:
y^{2}+g'(z)=y^{2}\quad\Rightarrow\quad g'(z)=0.
Logo g(z) é constante: g(z)=C.
Assim uma função potencial é
\varphi(x,y,z)=x^{2}y + y^{2}z + C.
Para simplicidade podemos escolher C=0, ficando \varphi(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z.

Passo 8

Verificação pedida em (b): calcular o gradiente de \varphi e mostrar que volta \overrightarrow{F}.
  • \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial x}=2xy.
  • \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial y}=x^{2}+2yz.
  • \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial z}=y^{2}.
Portanto \nabla\varphi=(2xy,\;x^{2}+2yz,\;y^{2})=\overrightarrow{F}. Verificado.

Passo 9

Questão (c) sobre potencial vetor: existe \overrightarrow{A} tal que \nabla\times\overrightarrow{A}=\overrightarrow{F} ?
Condição necessária (e localmente suficiente em regiões apropriadas) para existência de potencial vetor é que \nabla\cdot\overrightarrow{F}=0, porque \nabla\cdot(\nabla\times\overrightarrow{A})\equiv 0 sempre. Vou calcular a divergência de \overrightarrow{F}:
\nabla\cdot\overrightarrow{F}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)+\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+2yz)+\frac{\partial}{\partial z}(y^{2})=2y+2z+0=2(y+z).
Como \nabla\cdot\overrightarrow{F}=2(y+z) não é identicamente zero em \mathbb{R}^{3}, a condição necessária falha; portanto não existe vetor potencial \overrightarrow{A} com \nabla\times\overrightarrow{A}=\overrightarrow{F} definido em toda a região considerada. (Obs.: só poderia existir em regiões onde y+z\equiv0, mas isso seria uma restrição muito forte; em geral a resposta é que não admite potencial vetor.)

Passo 10

Cálculo do trabalho pedido em (d): para um campo conservativo, o trabalho \displaystyle W de (0,0,0) até (1,1,2) é a diferença da função potencial entre os pontos finais e iniciais:
W=\varphi(1,1,2)-\varphi(0,0,0).
Usando \varphi(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z + C (o C cancela na diferença), tomamos C=0 para facilitar:
\varphi(1,1,2)=1^{2}\cdot 1 + 1^{2}\cdot 2 = 1+2=3,
\varphi(0,0,0)=0.
Logo
W=3.

Resposta

(a) Sim, o campo é conservativo.
(b) \varphi(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+C (escolhendo C=0: \varphi=x^{2}y+y^{2}z); verificação: \nabla\varphi=\overrightarrow{F}.
(c) Não; \nabla\cdot\overrightarrow{F}=2(y+z)\neq 0, portanto não existe \overrightarrow{A} tal que \nabla\times\overrightarrow{A}=\overrightarrow{F} em toda a região.
(d) Trabalho W=3.

Exercícios relacionados