(2 PONTOS) Calcule as integrais abaixo, se existirem.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Está dada a integral
. - A pergunta é: calcular essa integral (encontrar uma primitiva), quando ela existir.
- Informação importante do enunciado que afeta a existência: o denominador
anula-se quando , isto é, em para . Nessas pontos a função integranda não está definida, então a primitiva só pode ser válida em intervalos que não contenham esses pontos.
Passo 2
Escolha do método (e por quê):
- Uma identidade trigonométrica simples transforma
numa forma quadrática em , o que leva diretamente a uma integral do tipo cuja primitiva é conhecida. Esse é o método mais direto e elementar aqui. - Alternativa possível: substituição de Weierstrass
. Dá o mesmo resultado e é uma boa verificação, mas é mais trabalhoso. Vou usar a identidade de meia-ângulo por ser mais curto e mais fácil de aplicar sem calculadora.
Passo 3
Usar a identidade de meia-ângulo:
- Lembrando a identidade
. - Somando
dos dois lados obtemos
- Portanto o integrando fica
Passo 4
Reduzir a integral e usar substituição simples:
- Substituindo na integral,
- Agora faça a substituição de variável natural
. Então , ou seja . - Substituindo
e simplificando:
Passo 5
Conhecer a primitiva de
e voltar para
:
- Sabendo que a derivada de
é , temos
- Voltando à variável original
,
onde
é constante de integração.
Passo 6
Observações sobre existência e domínio:
- A primitiva
é válida em qualquer intervalo onde a função integranda esteja bem definida, ou seja, em intervalos que não contenham pontos , pois nesses pontos e a integral é imprópria. - Em outras palavras: a antiderivada encontrada vale localmente em cada intervalo
, para cada .