(2 PONTOS) Calcule as integrais abaixo, se existirem.
\int \frac{d x}{1+\cos x}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Está dada a integral \displaystyle \int \frac{d x}{1+\cos x}.
  • A pergunta é: calcular essa integral (encontrar uma primitiva), quando ela existir.
  • Informação importante do enunciado que afeta a existência: o denominador 1+\cos x anula-se quando \cos x=-1, isto é, em x=(2k+1)\pi para k\in\mathbb{Z}. Nessas pontos a função integranda não está definida, então a primitiva só pode ser válida em intervalos que não contenham esses pontos.

Passo 2

Escolha do método (e por quê):
  • Uma identidade trigonométrica simples transforma 1+\cos x numa forma quadrática em \cos(x/2), o que leva diretamente a uma integral do tipo \int \operatorname{sec}^2 cuja primitiva é conhecida. Esse é o método mais direto e elementar aqui.
  • Alternativa possível: substituição de Weierstrass t=\tan(x/2). Dá o mesmo resultado e é uma boa verificação, mas é mais trabalhoso. Vou usar a identidade de meia-ângulo por ser mais curto e mais fácil de aplicar sem calculadora.

Passo 3

Usar a identidade de meia-ângulo:
  • Lembrando a identidade \displaystyle \cos x = 2\cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right)-1.
  • Somando 1 dos dois lados obtemos
1+\cos x = 2\cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right).
  • Portanto o integrando fica
\frac{1}{1+\cos x}=\frac{1}{2\cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 4

Reduzir a integral e usar substituição simples:
  • Substituindo na integral,
\int \frac{dx}{1+\cos x}=\int \frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.
  • Agora faça a substituição de variável natural u=\dfrac{x}{2}. Então du=\dfrac{dx}{2}, ou seja dx=2\,du.
  • Substituindo dx e simplificando:
\int \frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}^2(u)\cdot 2\,du = \int \operatorname{sec}^2(u)\,du.

Passo 5

Conhecer a primitiva de \operatorname{sec}^2 e voltar para x:
  • Sabendo que a derivada de \tan u é \operatorname{sec}^2 u, temos
\int \operatorname{sec}^2(u)\,du = \tan u + C.
  • Voltando à variável original u=\dfrac{x}{2},
\int \frac{dx}{1+\cos x} = \tan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Observações sobre existência e domínio:
  • A primitiva \tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+C é válida em qualquer intervalo onde a função integranda esteja bem definida, ou seja, em intervalos que não contenham pontos x=(2k+1)\pi, pois nesses pontos 1+\cos x=0 e a integral é imprópria.
  • Em outras palavras: a antiderivada encontrada vale localmente em cada intervalo \big((2k-1)\pi,(2k+1)\pi\big), para cada k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+C

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