(2 PONTOS) Calcule as integrais abaixo, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
se ela existir. Informações dadas/observações úteis:
- A função integranda é
. - Não há restrição de domínio no enunciado, e
é contínua para todo , então a primitiva existe em todo . - A tarefa é encontrar uma antiderivada explícita (ou mostrar que não existe, mas aqui ela existe).
Passo 2
Escolhendo o método: a integranda é um produto de um polinômio simples (
) por uma exponencial (
). Um método natural para produtos assim é usar a fórmula de integração por partes. Vou explicar essa fórmula com calma antes de aplicar.
Fórmula de integração por partes:
Nessa fórmula:
-
é uma função de que escolhemos; é sua diferencial (ou derivada em relação a multiplicada por ). -
é a outra parte do integrando; é uma primitiva de , isto é, .
A ideia é escolhere de modo que seja mais simples do que a integral inicial.
Também preciso da primitiva de
. Recordando que, para
com
,
logo
Aqui
, portanto
(onde
é o logaritmo natural).
Passo 3
Aplicando integração por partes: escolho
Então
Agora uso a fórmula
:
Passo 4
Continuo calculando a integral restante. A constante
sai da integral:
Usando novamente
, obtemos
Agrupando termos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação rápida (para me deixar mais confiante): diferencio a primitiva encontrada para ver se volta ao integrando.
Se eu definir
Se eu definir
então, aplicando a regra do produto e sabendo que
, obtém-se após simplificações
confirmando que
é de fato uma antiderivada de
. Portanto o resultado está correto.