(2 PONTOS) Calcule as integrais abaixo, se existirem.
\int x 3^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\,3^{x}\,dx,
se ela existir. Informações dadas/observações úteis:
  • A função integranda é x\,3^{x}.
  • Não há restrição de domínio no enunciado, e x\,3^{x} é contínua para todo x\in\mathbb{R}, então a primitiva existe em todo \mathbb{R}.
  • A tarefa é encontrar uma antiderivada explícita (ou mostrar que não existe, mas aqui ela existe).

Passo 2

Escolhendo o método: a integranda é um produto de um polinômio simples ( x) por uma exponencial ( 3^{x}). Um método natural para produtos assim é usar a fórmula de integração por partes. Vou explicar essa fórmula com calma antes de aplicar.
Fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Nessa fórmula:
  • u é uma função de x que escolhemos; du é sua diferencial (ou derivada em relação a x multiplicada por dx).
  • dv é a outra parte do integrando; v é uma primitiva de dv, isto é, v=\int dv.
    A ideia é escolher u e dv de modo que \int v\,du seja mais simples do que a integral inicial.
Também preciso da primitiva de 3^{x}. Recordando que, para a>0 com a\neq1,
\frac{d}{dx}\left(a^{x}\right)=a^{x}\ln a,
logo
\int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C.
Aqui a=3, portanto
\int 3^{x}\,dx=\frac{3^{x}}{\ln 3}+C.
(onde \ln é o logaritmo natural).

Passo 3

Aplicando integração por partes: escolho
u = x,\qquad dv = 3^{x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int 3^{x}\,dx = \frac{3^{x}}{\ln 3}.
Agora uso a fórmula \int u\,dv = u v - \int v\,du:
\int x\,3^{x}\,dx = x\cdot\frac{3^{x}}{\ln 3} - \int \frac{3^{x}}{\ln 3}\,dx.

Passo 4

Continuo calculando a integral restante. A constante \frac{1}{\ln 3} sai da integral:
\int x\,3^{x}\,dx = \frac{x\,3^{x}}{\ln 3} - \frac{1}{\ln 3}\int 3^{x}\,dx.
Usando novamente \int 3^{x}\,dx=\dfrac{3^{x}}{\ln 3}, obtemos
\int x\,3^{x}\,dx = \frac{x\,3^{x}}{\ln 3} - \frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{3^{x}}{\ln 3} + C.
Agrupando termos:
\int x\,3^{x}\,dx = \frac{3^{x}}{\ln 3}\left(x - \frac{1}{\ln 3}\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação rápida (para me deixar mais confiante): diferencio a primitiva encontrada para ver se volta ao integrando.
Se eu definir
F(x)=\frac{3^{x}}{\ln 3}\left(x - \frac{1}{\ln 3}\right),
então, aplicando a regra do produto e sabendo que \frac{d}{dx}3^{x}=3^{x}\ln 3, obtém-se após simplificações
F'(x)=x\,3^{x},
confirmando que F é de fato uma antiderivada de x\,3^{x}. Portanto o resultado está correto.

Resposta

\frac{3^{x}}{\ln 3}\left(x - \frac{1}{\ln 3}\right) + C

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