(2,0 pontos) Fazer o gráfico e encontrar a área limitada pelas curvas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico das curvas $ y^{2} = x $ e $ y - x = 0 $ e encontrar a área que fica entre elas. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de gráficos de funções e cálculo de áreas por integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
- $ y^{2} = x $: Essa é uma parábola que abre para a direita.
- $ y - x = 0
y = x $: Essa é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
Vamos desenhar esses gráficos para visualizar melhor onde eles se interceptam.
Passo 3
Para encontrar a área entre as curvas, precisamos saber onde elas se cruzam. Vamos resolver o sistema de equações:
Substituindo $ y = x $ na primeira equação:
Então, as soluções são $ y = 0 $ e $ y = 1 $. Isso significa que as curvas se encontram nos pontos $ (0,0) $ e $ (1,1) $.
Passo 4
Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos determinar qual curva está acima da outra no intervalo $ y \in [0, 1] $. Observando as equações:
- Para $ y $ entre 0 e 1, $ y^{2} \leq y $ porque, por exemplo, $ (0.5)^{2} = 0.25 \leq 0.5 $.
Isso indica que a reta $ y = x $ está acima da parábola $ y^{2} = x $ nesse intervalo.
Passo 5
Para encontrar a área limitada, vamos integrar a diferença entre as duas funções no intervalo de $ y = 0 $ até $ y = 1 $. A fórmula da área $ A $ é:
Aqui, $ y $ é a função da reta e $ y^{2} $ é a função da parábola.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte separadamente:
Passo 7
Subtraindo os resultados das integrais:
Resposta
A área limitada pelas curvas $ y^{2} = x $ e $ y - x = 0 $ é igual a $ \frac{1}{6} $ unidades de área.