(2,0 pontos) Fazer o gráfico e encontrar a área limitada pelas curvas y^2=x e y-x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico das curvas $ y^{2} = x $ e $ y - x = 0 $ e encontrar a área que fica entre elas. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de gráficos de funções e cálculo de áreas por integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
  • $ y^{2} = x $: Essa é uma parábola que abre para a direita.
  • $ y - x = 0 y^2 = x y = x $: Essa é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
Vamos desenhar esses gráficos para visualizar melhor onde eles se interceptam.

Passo 3

Para encontrar a área entre as curvas, precisamos saber onde elas se cruzam. Vamos resolver o sistema de equações:
y^2 = x y = x
Substituindo $ y = x $ na primeira equação:
y = x
Então, as soluções são $ y = 0 $ e $ y = 1 $. Isso significa que as curvas se encontram nos pontos $ (0,0) $ e $ (1,1) $.

Passo 4

Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos determinar qual curva está acima da outra no intervalo $ y \in [0, 1] $. Observando as equações:
  • Para $ y $ entre 0 e 1, $ y^{2} \leq y $ porque, por exemplo, $ (0.5)^{2} = 0.25 \leq 0.5 $.
Isso indica que a reta $ y = x $ está acima da parábola $ y^{2} = x $ nesse intervalo.

Passo 5

Para encontrar a área limitada, vamos integrar a diferença entre as duas funções no intervalo de $ y = 0 $ até $ y = 1 $. A fórmula da área $ A $ é:
y = 0
Aqui, $ y $ é a função da reta e $ y^{2} $ é a função da parábola.

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral0^1 ( y - y^2 ) , dy = integral0^1 y , dy - integral0^1 y^2 , dy
Calculando cada parte separadamente:
integral0^1 y , dy = [ 12 y^2 ]0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12
integral0^1 y^2 , dy = [ 13 y^3 ]0^1 = 13(1)^3 - 13(0)^3 = 13

Passo 7

Subtraindo os resultados das integrais:
A = 12 - 13 = 36 - 26 = 16

Resposta

A área limitada pelas curvas $ y^{2} = x $ e $ y - x = 0 $ é igual a $ \frac{1}{6} $ unidades de área.

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