(2,0 pontos) Calcule a integral de linha de campo vetorial \int_{C} F d r, onde C é a parte da curva de x^{2}+y^{2}=16, tal que x \leq 0, e F(x, y)=\left(-y, \frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}F\cdot d r
onde C é a parte da circunferência x^{2}+y^{2}=16 com x\le0, e
F(x,y)=\bigl(-y,\tfrac1x\bigr).
Este é um problema de integração de campos vetoriais via parametrização de curvas.

Passo 2

Como não foi dada orientação, adotamos a orientação positiva (contrária ao relógio). Uma parametrização natural de C\) é \[\begin{cases} x(t)=4\cos t,\\\ y(t)=4\sin t, \end{cases} \quad t\in\bigl[\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2\bigr],
pois para esses valores de t\] temos \(\cos t\le0 e, portanto, x\le0.

Passo 3

Calculamos \mathbf{r}'(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr) e avaliamos F ao longo da curva:
x'(t)=-4\sin t, \quad y'(t)=4\cos t,
F\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(-y(t),\tfrac1{x(t)}\bigr) =\bigl(-4\sin t,\tfrac1{4\cos t}\bigr).

Passo 4

O integrando é
F\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t) =(-4\sin t)\cdot(-4\sin t)+\frac1{4\cos t}\cdot(4\cos t) =16\sin^2t+1.

Passo 5

Agora integramos de t=\tfrac\pi2 a t=\tfrac{3\pi}2:
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\bigl(16\sin^2t+1\bigr)\,dt =\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\bigl(16\sin^2t\bigr)\,dt +\int_{\pi/2}^{3\pi/2}1\,dt.
Usando \sin^2t=\tfrac12(1-\cos2t), temos
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}16\sin^2t\,dt =8\int_{\pi/2}^{3\pi/2}(1-\cos2t)\,dt =8\Bigl[t-\tfrac12\sin2t\Bigr]_{\pi/2}^{3\pi/2} =8\bigl(\pi\bigr)=8\pi
e
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}1\,dt =\pi.
Somando, obtemos 8\pi+\pi=9\pi.

Resposta

9\pi

Exercícios relacionados