Seja \vec{r}(x, y, z)=(x, y, z) e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=|\vec{r}|. Determinar
\operatorname{div}\left(\frac{\vec{r}}{r^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a divergência do campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{\mathbf{r}}{r^{3}} \quad\text{com}\quad \mathbf{r}=(x,y,z), \; r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
O conteúdo aqui é cálculo de divergência em coordenadas cartesianas e uso da regra do produto e da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Escrevemos
\mathbf{F}(x,y,z) =\bigl(F_{1},F_{2},F_{3}\bigr) =\Bigl(\frac{x}{r^{3}},\,\frac{y}{r^{3}},\,\frac{z}{r^{3}}\Bigr).
Então
\operatorname{div}\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{r^{3}}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{r^{3}}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{z}{r^{3}}\Bigr).

Passo 3

Vamos calcular, por exemplo,
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{r^{3}}\Bigr).
Usando a regra do produto e que \partial_x r^{-3}=-3\,r^{-5}\,\partial_x r com \partial_x r=\tfrac{x}{r}, temos
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{r^{3}}\Bigr) =\frac{1}{r^{3}} +x\bigl(-3\,r^{-5}\bfrac{x}{r}\bigr) =\frac{1}{r^{3}}-\frac{3x^{2}}{r^{6}}.

Passo 4

De modo análogo,
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{r^{3}}\Bigr) =\frac{1}{r^{3}}-\frac{3y^{2}}{r^{6}}, \quad \frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{z}{r^{3}}\Bigr) =\frac{1}{r^{3}}-\frac{3z^{2}}{r^{6}}.
Somando os três termos:
\operatorname{div}\mathbf{F} =\Bigl(\tfrac{1}{r^{3}}-\tfrac{3x^{2}}{r^{6}}\Bigr) +\Bigl(\tfrac{1}{r^{3}}-\tfrac{3y^{2}}{r^{6}}\Bigr) +\Bigl(\tfrac{1}{r^{3}}-\tfrac{3z^{2}}{r^{6}}\Bigr) = \frac{3}{r^{3}}-\frac{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{r^{6}} =\frac{3}{r^{3}}-\frac{3r^{2}}{r^{6}}=0.

Passo 5

O resultado vale em todos os pontos onde r\neq0. No ponto r=0 o campo não está definido, portanto a divergência ali também não. Em teoria de distribuições o resultado global inclui uma contribuição de massa de Dirac, mas no cálculo clássico obtemos

Resposta

\operatorname{div}\Bigl(\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}\Bigr)=0 \quad\text{para }r\neq0.

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