(2,0 pontos) Considere a função f(x, y)=y \cos x e C é a curva y=\operatorname{sen} x, tal que \frac{\pi}{2} \leq x \leq 2 \pi. Calcule \int_{C} f d r. \rightarrow escalar

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha escalar \int_{C}f\,ds para
f(x,y)=y\cos x
ao longo da curva C\colon y=\sin x com x variando de \pi/2 até 2\pi. Para resolver, vamos parametrizar C em função de x, avaliar f na parametrização e usar
ds=\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 2

Parametrização:
\mathbf r(x) = \bigl(x,\sin x\bigr),\qquad \frac{\pi}{2}\le x\le2\pi.
Então
f\bigl(\mathbf r(x)\bigr)=\sin x\cos x,
e
\frac{dy}{dx}=\cos x\quad\Longrightarrow\quad ds=\sqrt{1+\cos^{2}x}\,dx.
Logo a integral fica
\int_{C}f\,ds =\int_{\pi/2}^{2\pi}\sin x\cos x\sqrt{1+\cos^{2}x}\,dx.

Passo 3

Para calcular
\int_{\pi/2}^{2\pi}\sin x\cos x\sqrt{1+\cos^{2}x}\,dx
fazemos a substituição
u=\cos x, \quad du=-\sin x\,dx.
Quando x=\pi/2 temos u=0 e quando x=2\pi temos u=1. Assim
\int_{\pi/2}^{2\pi}\sin x\cos x\sqrt{1+\cos^{2}x}\,dx =-\int_{0}^{1}u\sqrt{1+u^{2}}\,du.

Passo 4

Calculamos a integral em u:
\int u\sqrt{1+u^{2}}\,du.
Use w=1+u^{2}, dw=2u\,du, então
\int u\sqrt{1+u^{2}}\,du =\tfrac12\int w^{1/2}dw =\tfrac12\cdot\tfrac{2}{3}w^{3/2} =\tfrac{1}{3}(1+u^{2})^{3/2}.
Portanto
-\int_{0}^{1}u\sqrt{1+u^{2}}\,du =-\frac{1}{3}\Bigl[(1+u^{2})^{3/2}\Bigr]_{0}^{1} =-\frac{1}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) =\frac{1-2\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\int_{C}f\,ds=\frac{1-2\sqrt{2}}{3}.

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