(2.0 pontos) Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{F}=x y \vec{i}+y z \vec{j}+x z \vec{k} e C é dada pela função vetorial \vec{r}(t)=t^{3} \vec{i}-t^{2} \vec{j}+t \vec{k}, 0 \leq t \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}, com
onde a e b são os limites do parâmetro (aqui a=0, b=1). Explicando cada termo:
\vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado ao longo da curva: substituir x,y,z pelas funções de t.
\vec{r}\,'(t) é a derivada vetorial da parametrização, que multiplica escalarmente \vec{F}(\vec{r}(t)).
Depois disso sobra uma integral usual em t que podemos calcular.
Passo 3
Calcular \vec{r}\,'(t) derivando componente a componente: