(2.0 pontos) Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{F}=x y \vec{i}+y z \vec{j}+x z \vec{k} e C é dada pela função vetorial \vec{r}(t)=t^{3} \vec{i}-t^{2} \vec{j}+t \vec{k}, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}, com
\vec{F}=x y\,\vec{i}+y z\,\vec{j}+x z\,\vec{k}
e a curva C parametrizada por
\vec{r}(t)=t^{3}\,\vec{i}-t^{2}\,\vec{j}+t\,\vec{k},\qquad 0\le t\le 1.
Informações dadas:
  • Componentes da campo vetorial: F_x=x y, F_y=y z, F_z=x z.
  • Parametrização: x(t)=t^{3}, y(t)=-t^{2}, z(t)=t.
  • Intervalo do parâmetro: t\in[0,1].

Passo 2

Fórmula que vamos usar: para uma curva parametrizada por \vec{r}(t) e um campo vetorial \vec{F}(x,y,z),
d\vec{r}=\vec{r}\,'(t)\,dt
e a integral de linha é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt,
onde a e b são os limites do parâmetro (aqui a=0, b=1). Explicando cada termo:
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado ao longo da curva: substituir x,y,z pelas funções de t.
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada vetorial da parametrização, que multiplica escalarmente \vec{F}(\vec{r}(t)).
    Depois disso sobra uma integral usual em t que podemos calcular.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) derivando componente a componente:
\vec{r}(t)=\bigl(t^{3},\,-t^{2},\,t\bigr)\quad\Rightarrow\quad \vec{r}\,'(t)=\bigl(3t^{2},\,-2t,\,1\bigr).

Passo 4

Avaliar \vec{F} ao longo da curva substituindo x=x(t), y=y(t), z=z(t):
F_x(x(t),y(t),z(t))=x(t)\,y(t)=t^{3}\cdot(-t^{2})=-t^{5},
F_y(x(t),y(t),z(t))=y(t)\,z(t)=(-t^{2})\cdot t=-t^{3},
F_z(x(t),y(t),z(t))=x(t)\,z(t)=t^{3}\cdot t=t^{4}.
Logo
\vec{F}(\vec{r}(t))=\bigl(-t^{5},\,-t^{3},\,t^{4}\bigr).

Passo 5

Fazer o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=(-t^{5})(3t^{2})+(-t^{3})(-2t)+(t^{4})(1).
Calculemos termo a termo:
(-t^{5})(3t^{2})=-3t^{7}, \qquad (-t^{3})(-2t)=2t^{4}, \qquad (t^{4})(1)=t^{4}.
Somando,
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=-3t^{7}+2t^{4}+t^{4}=-3t^{7}+3t^{4}.

Passo 6

Agora a integral de linha vira a integral em t:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}\bigl(-3t^{7}+3t^{4}\bigr)\,dt.

Passo 7

Integramos termo a termo usando a regra da potência: \displaystyle \int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando:
\int_{0}^{1}-3t^{7}\,dt=-3\cdot\frac{t^{8}}{8}\Big|_{0}^{1}=-\frac{3}{8},
\int_{0}^{1}3t^{4}\,dt=3\cdot\frac{t^{5}}{5}\Big|_{0}^{1}=\frac{3}{5}.

Passo 8

Somando os dois resultados:
\int_{0}^{1}\bigl(-3t^{7}+3t^{4}\bigr)\,dt=-\frac{3}{8}+\frac{3}{5}.
Para somar frações use denominador comum 40:
-\frac{3}{8}=-\frac{15}{40},\qquad \frac{3}{5}=\frac{24}{40},
então
-\frac{15}{40}+\frac{24}{40}=\frac{9}{40}.

Resposta

\dfrac{9}{40}

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