Questão 4 [3 pontos] Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. Informação importante extraída do enunciado:
- Equação diferencial linear de segunda ordem com termo forçante
. - Condições iniciais:
e .
Passo 2
Breve introdução didática à transformada de Laplace (ideia e fórmula):
- A transformada de Laplace de uma função
, , é definida por
onde
é uma variável complexa (no contexto de EDOs usaremos
real e maior que certos valores).
- A utilidade aqui: transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em
, resolver para e depois aplicar a transformada inversa para obter .
Passo 3
Propriedades essenciais que usaremos (explicadas de forma concreta):
- Linearidade:
. - Transformada de derivadas (são fórmulas padrão; vou explicar cada símbolo):
- Se
, então
- Se
Nestas fórmulas,
e
são as condições iniciais que aparecem automaticamente ao transformar derivadas — por isso a transformada é muito prática para PVI.
- Transformadas de senos e cossenos úteis aqui:
No nosso problema precisaremos .
Passo 4
Aplicar a transformada de Laplace a ambos os lados da equação. Seja
. Usando as fórmulas de derivadas:
Substituindo:
Agora insiro as condições iniciais
e
:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Agrupar
e isolar:
Logo
Portanto
Agora o objetivo é fazer a transformada inversa termo a termo. O primeiro termo
já lembra transformadas conhecidas:
inverte para
e
inverte para
. Assim o primeiro termo produzirá
. Vamos tratar o segundo termo com calma.
Passo 6
Decompor o segundo termo por frações parciais. Queremos escrever
Multiplicando pelos denominadores:
Igualando coeficientes dos polinômios em
Da primeira equação
. Assim
Passo 7
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Relembrando:
-
. -
. -
porque dá com .
Recapitulando os termos de
:
Juntando os termos sobre
:
E
. Portanto, ao aplicar a transformada inversa:
-
-> . -
-> . -
-> .
Somando tudo, obtemos
Passo 8
Verificação rápida (cheia de bons hábitos para a prova): conferir as condições iniciais pelo resultado encontrado.
-
(ok). - Derivando
:
Avaliar em
:
concordando com
. As condições iniciais batem, logo a solução está correta.