Questão 4 [3 pontos] Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sen}(2 t), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
y^{\prime\prime}+y=\operatorname{sen}(2t),\qquad y(0)=1,\qquad y^{\prime}(0)=-1.
O que se pede é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. Informação importante extraída do enunciado:
  • Equação diferencial linear de segunda ordem com termo forçante \operatorname{sen}(2t).
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-1.

Passo 2

Breve introdução didática à transformada de Laplace (ideia e fórmula):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t), t\ge0, é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (no contexto de EDOs usaremos s real e maior que certos valores).
  • A utilidade aqui: transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em s, resolver para F(s) e depois aplicar a transformada inversa para obter f(t).

Passo 3

Propriedades essenciais que usaremos (explicadas de forma concreta):
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformada de derivadas (são fórmulas padrão; vou explicar cada símbolo):
    • Se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), então
    \mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Nestas fórmulas, y(0) e y'(0) são as condições iniciais que aparecem automaticamente ao transformar derivadas — por isso a transformada é muito prática para PVI.
  • Transformadas de senos e cossenos úteis aqui: \mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.No nosso problema precisaremos \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}.

Passo 4

Aplicar a transformada de Laplace a ambos os lados da equação. Seja Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). Usando as fórmulas de derivadas:
\mathcal{L}\{y''\}(s)+\mathcal{L}\{y\}(s)=\mathcal{L}\{\sin(2t)\}(s).
Substituindo:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)+Y(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.
Agora insiro as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot 1 -(-1)\bigr)+Y(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.
Simplificando os termos constantes:
s^{2}Y(s)+Y(s)-s+1=\frac{2}{s^{2}+4}.

Passo 5

Agrupar Y(s) e isolar:
(s^{2}+1)Y(s)-s+1=\frac{2}{s^{2}+4}.
Logo
(s^{2}+1)Y(s)=s-1+\frac{2}{s^{2}+4}.
Portanto
Y(s)=\frac{s-1}{s^{2}+1}+\frac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}.
Agora o objetivo é fazer a transformada inversa termo a termo. O primeiro termo \dfrac{s-1}{s^{2}+1} já lembra transformadas conhecidas: \dfrac{s}{s^{2}+1} inverte para \cos t e \dfrac{1}{s^{2}+1} inverte para \sin t. Assim o primeiro termo produzirá \cos t - \sin t. Vamos tratar o segundo termo com calma.

Passo 6

Decompor o segundo termo por frações parciais. Queremos escrever
\frac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{A}{s^{2}+1}+\frac{B}{s^{2}+4}.
Multiplicando pelos denominadores:
2=A(s^{2}+4)+B(s^{2}+1)=(A+B)s^{2}+(4A+B).
Igualando coeficientes dos polinômios em s\): \[\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 4A+B=2. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Substituindo na segunda: \[4A+(-A)=2\quad\Rightarrow\quad 3A=2\quad\Rightarrow\quad A=\frac{2}{3}.\] Então \(B=-\dfrac{2}{3}. Assim
\frac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{2/3}{s^{2}+1}-\frac{2/3}{s^{2}+4}.]

Passo 7

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Relembrando:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+4}\right\}=\dfrac{1}{2}\sin(2t) porque a=2 \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}} com a=2.
Recapitulando os termos de Y(s):
Y(s)=\frac{s-1}{s^{2}+1}+\frac{2/3}{s^{2}+1}-\frac{2/3}{s^{2}+4}.
Juntando os termos sobre s^{2}+1:
\frac{s-1}{s^{2}+1}+\frac{2/3}{s^{2}+1}=\frac{s}{s^{2}+1}-\frac{1}{s^{2}+1}+\frac{2/3}{s^{2}+1} =\frac{s}{s^{2}+1}+\left(-1+\frac{2}{3}\right)\frac{1}{s^{2}+1}.
E -1+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}. Portanto, ao aplicar a transformada inversa:
  • \dfrac{s}{s^{2}+1} -> \cos t.
  • -\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+1} -> -\dfrac{1}{3}\sin t.
  • -\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+4} -> -\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\sin(2t)=-\dfrac{1}{3}\sin(2t).
Somando tudo, obtemos
y(t)=\cos t-\frac{1}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t).

Passo 8

Verificação rápida (cheia de bons hábitos para a prova): conferir as condições iniciais pelo resultado encontrado.
  • y(0)=\cos 0 -\tfrac{1}{3}\sin 0 -\tfrac{1}{3}\sin 0 =1 (ok).
  • Derivando y(t):
y'(t)=-\sin t-\frac{1}{3}\cos t-\frac{2}{3}\cos(2t).
Avaliar em t=0:
y'(0)=0-\frac{1}{3}\cdot 1-\frac{2}{3}\cdot 1=-1,
concordando com y'(0)=-1. As condições iniciais batem, logo a solução está correta.

Resposta

y(t)=\cos t-\frac{1}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t)

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