Questão 3 [2 pontos] Encontre a transformada de Laplace da seguinte função
f(t)=7 \cos 3 t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é f(t)=7\cos 3t.
  • A transformada de Laplace é buscada em função da variável s.
    Nada mais foi fornecido (assume-se o domínio usual t\ge0).

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (a fórmula que vamos usar).
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral é imprópria; a expressão só faz sentido (converge) para valores de s em que a integral converge. Aqui t é a variável de tempo (real e não negativa) e s é o parâmetro da transformada.

Passo 3

Usar linearidade para tirar a constante da integral.
A transformada é linear, ou seja, constantes multiplicativas saem fora da integral. Então
\mathcal{L}\{7\cos 3t\}(s)=7\,\mathcal{L}\{\cos 3t\}(s)=7\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(3t)\,dt.
Agora basta calcular I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(3t)\,dt.

Passo 4

Cálculo de I(s) usando a representação por exponencial complexa (método rápido e elegante).
Lembrando que \cos(3t)=\Re(e^{i3t}), podemos escrever
I(s)=\Re\left(\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{i3t}\,dt\right)=\Re\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i3)t}\,dt\right).
Para \Re(s)>0 a integral geométrica converge e vale
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i3)t}\,dt=\frac{1}{s-i3}.
Tomando a parte real:
I(s)=\Re\!\left(\frac{1}{s-i3}\right)=\frac{s}{s^{2}+3^{2}}=\frac{s}{s^{2}+9}.
Explicando rapidamente: se z=s-i3 então \dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}=\dfrac{s+i3}{s^{2}+9} e a parte real é \dfrac{s}{s^{2}+9}.

Passo 5

Derivação alternativa (opcional) por integração por partes duas vezes — método totalmente real.
Começando por
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(3t)\,dt,
fazer integração por partes (ou usar a tabela) duas vezes leva à equação
I(s)=\frac{s}{s^{2}+9},
válida para \Re(s)>0. Esta versão é útil se preferir não usar exponenciais complexas; o cálculo por partes é um pouco mais longo mas chega ao mesmo resultado.

Passo 6

Voltar à transformada original multiplicando por 7 e indicar a região de convergência.
Como
\mathcal{L}\{\cos 3t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+9},
temos
\mathcal{L}\{7\cos 3t\}(s)=7\cdot\frac{s}{s^{2}+9}=\frac{7s}{s^{2}+9},
com região de convergência \Re(s)>0 (é o mesmo requisito obtido ao garantir que a integral convergisse).

Resposta

\displaystyle \frac{7s}{s^{2}+9} (para \Re(s)>0)

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