Questão 3 [2 pontos] Encontre a transformada de Laplace da seguinte função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - A transformada de Laplace é buscada em função da variável
.
Nada mais foi fornecido (assume-se o domínio usual).
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (a fórmula que vamos usar).
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
onde
é uma variável complexa e a integral é imprópria; a expressão só faz sentido (converge) para valores de
em que a integral converge. Aqui
é a variável de tempo (real e não negativa) e
é o parâmetro da transformada.
Passo 3
Usar linearidade para tirar a constante da integral.
A transformada é linear, ou seja, constantes multiplicativas saem fora da integral. Então
A transformada é linear, ou seja, constantes multiplicativas saem fora da integral. Então
Agora basta calcular
.
Passo 4
Cálculo de
usando a representação por exponencial complexa (método rápido e elegante).
Lembrando que , podemos escrever
Lembrando que
Para
a integral geométrica converge e vale
Tomando a parte real:
Explicando rapidamente: se
então
e a parte real é
.
Passo 5
Derivação alternativa (opcional) por integração por partes duas vezes — método totalmente real.
Começando por
Começando por
fazer integração por partes (ou usar a tabela) duas vezes leva à equação
válida para
. Esta versão é útil se preferir não usar exponenciais complexas; o cálculo por partes é um pouco mais longo mas chega ao mesmo resultado.
Passo 6
Voltar à transformada original multiplicando por
e indicar a região de convergência.
Como
Como
temos
com região de convergência
(é o mesmo requisito obtido ao garantir que a integral convergisse).