(1,5 pontos) Calcule o limite \lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt{9+t}-3}{t} \vec{i}+\frac{4}{t+2} \vec{j}+\frac{\operatorname{sen} t}{t} \vec{k}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede o limite quando t \to 0 do vetor
\left(\frac{\sqrt{9+t}-3}{t}\,\vec{i}+\frac{4}{t+2}\,\vec{j}+\frac{\operatorname{sen} t}{t}\,\vec{k}\right).
  • Informação dada: as três componentes são as funções
f_1(t)=\frac{\sqrt{9+t}-3}{t},\qquad f_2(t)=\frac{4}{t+2},\qquad f_3(t)=\frac{\sin t}{t},
e o ponto de interesse é t=0.
  • Pergunta explícita: calcular o limite de cada componente quando t\to0 (isto é, o limite do vetor como um todo).

Passo 2

Calcular a primeira componente \displaystyle f_1(t)=\frac{\sqrt{9+t}-3}{t} quando t\to0.
  1. Observação: ao substituir t=0 obtemos numerador \sqrt{9}-3=3-3=0 e denominador 0, ou seja temos uma forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Para resolver, usamos a técnica de racionalizar o numerador (multiplicar numerador e denominador pelo conjugado).
  2. Multiplicando por \dfrac{\sqrt{9+t}+3}{\sqrt{9+t}+3} obtemos
\frac{\sqrt{9+t}-3}{t}\cdot\frac{\sqrt{9+t}+3}{\sqrt{9+t}+3} = \frac{(\sqrt{9+t})^2-3^2}{t\bigl(\sqrt{9+t}+3\bigr)}.
  1. Simplificando o numerador:
(\sqrt{9+t})^2-3^2 = (9+t)-9 = t.
Portanto
\frac{\sqrt{9+t}-3}{t}=\frac{t}{t\bigl(\sqrt{9+t}+3\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{9+t}+3},
para t\neq0.
  1. Agora podemos passar ao limite por substituição (agora não há indeterminação):
\lim_{t\to0}\frac{\sqrt{9+t}-3}{t} = \lim_{t\to0}\frac{1}{\sqrt{9+t}+3} = \frac{1}{\sqrt{9+0}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.
Comentário didático rápido: racionalizar remove a raiz do numerador e simplifica a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Outra maneira (mais conceitual) seria ver essa expressão como a derivada de g(t)=\sqrt{9+t} em t=0, pois \lim_{t\to0}\dfrac{g(t)-g(0)}{t}=g'(0)=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}=\dfrac{1}{6}.

Passo 3

Calcular a segunda componente \displaystyle f_2(t)=\frac{4}{t+2} quando t\to0.
  1. A função f_2 é uma função racional e é contínua em qualquer ponto onde o denominador não é zero. Aqui o denominador em t=0 vale 0+2=2\neq0, logo f_2 é contínua em t=0.
  2. Para funções contínuas, o limite é simplesmente o valor da função no ponto. Assim:
\lim_{t\to0}\frac{4}{t+2}=\frac{4}{0+2}=\frac{4}{2}=2.
Comentário didático: continuidade significa que não “acontece nada estranho” ao se aproximar do ponto — podemos substituir diretamente.

Passo 4

Calcular a terceira componente \displaystyle f_3(t)=\frac{\sin t}{t} quando t\to0.
  1. Essa é uma das limites fundamentais do cálculo. Há várias justificativas (geometria trigonométrica com desigualdades/squeeze theorem, desenvolvimento em série de Taylor, etc.). Vou dar uma justificativa rápida pelo desenvolvimento em série (que é simples e prática para a prova):
  2. Para t pequeno, a série de Taylor de \sin t é
\sin t = t - \frac{t^3}{6} + o(t^3),
onde o(t^3) representa termos que, divididos por t^3, tendem a zero quando t\to0.
  1. Dividindo por t obtemos
\frac{\sin t}{t}=1-\frac{t^2}{6}+o(t^2).
Ao fazer t\to0, os termos com t somem e sobra
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Breve nota alternativa (mais geométrica): pode-se provar também por desigualdades que para t perto de 0 vale \cos t \le \dfrac{\sin t}{t}\le 1 e como \cos t\to1 quando t\to0, pelo teorema do confronto o limite é 1.

Passo 5

Resumo dos limites das componentes encontrados (cada componente calculada separadamente):
  • Primeira componente: \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\sqrt{9+t}-3}{t}=\frac{1}{6}.
  • Segunda componente: \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{4}{t+2}=2.
  • Terceira componente: \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Resposta

\dfrac{1}{6}\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}

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