(1,5 pontos) Calcule o limite
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede o limite quando
do vetor
- Informação dada: as três componentes são as funções
e o ponto de interesse é
.
- Pergunta explícita: calcular o limite de cada componente quando
(isto é, o limite do vetor como um todo).
Passo 2
Calcular a primeira componente
quando
.
-
Observação: ao substituir
obtemos numerador e denominador , ou seja temos uma forma indeterminada . Para resolver, usamos a técnica de racionalizar o numerador (multiplicar numerador e denominador pelo conjugado). -
Multiplicando por
obtemos
- Simplificando o numerador:
Portanto
para
.
- Agora podemos passar ao limite por substituição (agora não há indeterminação):
Comentário didático rápido: racionalizar remove a raiz do numerador e simplifica a forma indeterminada
. Outra maneira (mais conceitual) seria ver essa expressão como a derivada de
em
, pois
.
Passo 3
Calcular a segunda componente
quando
.
-
A função
é uma função racional e é contínua em qualquer ponto onde o denominador não é zero. Aqui o denominador em vale , logo é contínua em . -
Para funções contínuas, o limite é simplesmente o valor da função no ponto. Assim:
Comentário didático: continuidade significa que não “acontece nada estranho” ao se aproximar do ponto — podemos substituir diretamente.
Passo 4
Calcular a terceira componente
quando
.
-
Essa é uma das limites fundamentais do cálculo. Há várias justificativas (geometria trigonométrica com desigualdades/squeeze theorem, desenvolvimento em série de Taylor, etc.). Vou dar uma justificativa rápida pelo desenvolvimento em série (que é simples e prática para a prova):
-
Para
pequeno, a série de Taylor de é
onde
representa termos que, divididos por
, tendem a zero quando
.
- Dividindo por
obtemos
Ao fazer
, os termos com
somem e sobra
Breve nota alternativa (mais geométrica): pode-se provar também por desigualdades que para
perto de
vale
e como
quando
, pelo teorema do confronto o limite é
.
Passo 5
Resumo dos limites das componentes encontrados (cada componente calculada separadamente):
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente: