(1,0 ponto) Determine o domínio da função vetorial \vec{r}(t)=<\frac{t}{\sqrt{t-1}}, \cos t, \ln \left(4-t^{2}\right)>.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função vetorial \vec{r}(t)=\left\langle \dfrac{t}{\sqrt{t-1}},\; \cos t,\; \ln\!\left(4-t^{2}\right)\right\rangle.
As informações que temos, componente a componente, são:
  • primeira componente: \dfrac{t}{\sqrt{t-1}};
  • segunda componente: \cos t;
  • terceira componente: \ln\!\left(4-t^{2}\right).
    O domínio da função vetorial será a interseção dos domínios das três componentes.

Passo 2

Analisando a primeira componente \dfrac{t}{\sqrt{t-1}}. Regras importantes:
  • A função \sqrt{\,\cdot\,} está definida apenas para argumentos não negativos, isto é, requeremos t-1\ge 0.
  • Além disso, não podemos dividir por zero, logo a raiz no denominador não pode ser zero; precisamos \sqrt{t-1}\neq 0.
Resolver t-1\ge 0
t\ge 1.
Mas devemos excluir o caso em que \sqrt{t-1}=0, que ocorre para t=1. Portanto, combinando as duas condições, o domínio da primeira componente é
\{t\in\mathbb{R}\mid t>1\}=(1,\infty).

Passo 3

Analisando a segunda componente \cos t. A função cosseno está definida para todo número real, então o domínio da segunda componente é
(-\infty,\infty).

Passo 4

Analisando a terceira componente \ln\!\left(4-t^{2}\right). Regra importante:
  • O logaritmo natural \ln(x) exige x>0. Aqui isso significa
4-t^{2}>0.
Resolver essa desigualdade:
4-t^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad t^{2}<4 \quad\Longleftrightarrow\quad -2<t<2.
Portanto o domínio da terceira componente é (-2,2).

Passo 5

Agora fazemos a interseção dos domínios das três componentes:
(1,\infty)\\ \cap\\ (-\infty,\infty)\\ \cap\\ (-2,2).
A interseção com (-\infty,\infty) não altera nada, então ficamos com
(1,\infty)\cap(-2,2)=(1,2).
Comentário final sobre fronteiras: t=1 está excluído porque anula o denominador da primeira componente; t=2 está excluído porque faz o argumento do logaritmo igual a zero, e \ln 0 não existe. Assim sobra exatamente o intervalo aberto (1,2).

Resposta

(1,2)

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