(1,0 ponto) Determine o domínio da função vetorial
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função vetorial
.
As informações que temos, componente a componente, são:
As informações que temos, componente a componente, são:
- primeira componente:
; - segunda componente:
; - terceira componente:
.
O domínio da função vetorial será a interseção dos domínios das três componentes.
Passo 2
Analisando a primeira componente
. Regras importantes:
- A função
está definida apenas para argumentos não negativos, isto é, requeremos . - Além disso, não podemos dividir por zero, logo a raiz no denominador não pode ser zero; precisamos
.
Resolver
dá
Mas devemos excluir o caso em que
, que ocorre para
. Portanto, combinando as duas condições, o domínio da primeira componente é
Passo 3
Analisando a segunda componente
. A função cosseno está definida para todo número real, então o domínio da segunda componente é
Passo 4
Analisando a terceira componente
. Regra importante:
- O logaritmo natural
exige . Aqui isso significa
Resolver essa desigualdade:
Portanto o domínio da terceira componente é
.
Passo 5
Agora fazemos a interseção dos domínios das três componentes:
A interseção com
não altera nada, então ficamos com
Comentário final sobre fronteiras:
está excluído porque anula o denominador da primeira componente;
está excluído porque faz o argumento do logaritmo igual a zero, e
não existe. Assim sobra exatamente o intervalo aberto
.