(3.5 pontos) Calcule os seguintes limites, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: a expressão é a função racional
. Quer-se o comportamento quando
cresce sem limite, isto é
.
Passo 2
Ideia geral (regra prática para funções racionais): quando
compara-se os graus do polinômio do numerador e do denominador.
- Se o grau do numerador for menor que o do denominador, o limite é
. - Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
- Se o grau do numerador for maior, o limite diverge para
conforme os sinais.
Aqui o numerador tem grau
e o denominador tem grau
, então esperamos que o limite seja
. A seguir fazemos a demonstração algébrica.
Passo 3
Técnica: dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente no denominador, que é
. Fazendo a divisão obtém-se uma forma em que os termos vão a zero quando
:
Passo 4
Agora avaliamos os limites das partes simples quando
:
Portanto, tomando limite na expressão do Passo 3,
Passo 5
Cálculo final e observação de sinal: para
temos
e
, então a função é positiva para
grande; isso mostra que o valor se aproxima de
pela direita (
). O quociente do Passo 4 é