(3.5 pontos) Calcule os seguintes limites, se existirem.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{x^{2}-9}.
Informações dadas: a expressão é a função racional \dfrac{x}{x^{2}-9}. Quer-se o comportamento quando x cresce sem limite, isto é x\to+\infty.

Passo 2

Ideia geral (regra prática para funções racionais): quando x\to\pm\infty compara-se os graus do polinômio do numerador e do denominador.
  • Se o grau do numerador for menor que o do denominador, o limite é 0.
  • Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
  • Se o grau do numerador for maior, o limite diverge para \pm\infty conforme os sinais.
Aqui o numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 2, então esperamos que o limite seja 0. A seguir fazemos a demonstração algébrica.

Passo 3

Técnica: dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador, que é x^{2}. Fazendo a divisão obtém-se uma forma em que os termos vão a zero quando x\to+\infty:
\frac{x}{x^{2}-9} = \frac{\dfrac{x}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{9}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora avaliamos os limites das partes simples quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{9}{x^{2}}=0.
Portanto, tomando limite na expressão do Passo 3,
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^{2}-9} = \frac{0}{1-0}.

Passo 5

Cálculo final e observação de sinal: para x>3 temos x^{2}-9>0 e x>0, então a função é positiva para x grande; isso mostra que o valor se aproxima de 0 pela direita ( 0^{+}). O quociente do Passo 4 é
\frac{0}{1}=0.

Resposta

0

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