2,5 Pontos Calcule os valores das constantes a e b para que a função f(x) definida abaixo seja derivável em x=0.
f(x)=\left\{\begin{aligned} a \sin (x)+b \cos (x), & \text { se } x \leq 0 \\\ x^{2}-4 x+3, & \text { se } x>0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes e pede que ela seja derivável em x=0. Para isso precisamos de duas coisas em x=0:
  1. Continuidade: \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+)f(x)=f(0).
  2. Igualdade das derivadas laterais: f'(0^-)=f'(0^+).

Passo 2

Impondo continuidade em x=0, temos pela parte esquerda
\lim_{x\to0^-}f(x)=a\sin(0)+b\cos(0)=b
e pela parte direita
\lim_{x\to0^+)f(x)=0^2-4\cdot0+3=3.
Logo b=3.

Passo 3

Agora igualamos as derivadas laterais em 0. Da parte esquerda
f'(x)=a\cos(x)-b\sin(x) \quad\Longrightarrow\quad f'(0^-)=a\cos(0)-b\sin(0)=a.
Da parte direita
f'(x)=2x-4 \quad\Longrightarrow\quad f'(0^+)=2\cdot0-4=-4.
Igualando f'(0^-)=f'(0^+) vem
a=-4.

Resposta

a=-4 b=3

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