(2 pontos) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, da regiāo limitada pelas curvas x=\sqrt{y}, x=-y e y=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região limitada por x=\sqrt{y}, x=-y e y=2. Como a região está acima de y=0 e é mais fácil integrar ao longo de y, vamos usar o método dos cascas cilíndricas.

Passo 2

Em cada altura y\in[0,2] temos uma casca cilíndrica de raio igual a y (distância até o eixo x) e altura igual à diferença entre as abscissas das curvas:
\text{altura} = x_{\text{direita}} - x_{\text{esquerda}} = \sqrt{y} - (-y) = \sqrt{y} + y.

Passo 3

O volume de cada casca é
dV = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \, dy = 2\pi\,y\bigl(\sqrt{y}+y\bigr)\,dy.
Logo, o volume total é
V = \int_{0}^{2} 2\pi\,y\bigl(\sqrt{y}+y\bigr)\,dy.

Passo 4

Expandindo o integrando:
y\bigl(\sqrt{y}+y\bigr) = y^{3/2} + y^2,
então
V = 2\pi \int_{0}^{2}\bigl(y^{3/2}+y^2\bigr)\,dy.

Passo 5

Calculemos as primitivas:
\int y^{3/2}\,dy = \frac{2}{5}\,y^{5/2}, \qquad \int y^2\,dy = \frac{1}{3}\,y^3.
Avaliando de 0 a 2:
\left.\frac{2}{5}\,y^{5/2}\right|_{0}^{2} = \frac{2}{5}\,(2)^{5/2} = \frac{8\sqrt{2}}{5}, \quad \left.\frac{1}{3}\,y^3\right|_{0}^{2} = \frac{8}{3}.
Somando:
\int_{0}^{2}\bigl(y^{3/2}+y^2\bigr)\,dy = \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{8}{3} = \frac{24\sqrt{2}+40}{15}.

Passo 6

Multiplicando por 2\pi, obtemos
V = 2\pi \cdot \frac{24\sqrt{2}+40}{15} = \frac{48\sqrt{2}+80}{15}\,\pi = \frac{16\pi}{15}\,\bigl(3\sqrt{2}+5\bigr).

Resposta

V = \frac{16\pi}{15}\,\bigl(3\sqrt{2}+5\bigr).

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