( 1,5 pontos) CAMPO ELÉTRICO E ENERGIA. Nos vértices de um retângulo (largura a \mathrm{e} comprimento b ; a<b ) há quatro cargas, sendo duas iguas a q e as outras iguais a 2 q. Suponha que as cargas q estejam localizadas em vértices opostos. a) Calcule a energia, U, (ou trabalho, caso prefira esta terminologia), desta configuração de cargas. b) Calcule o campo elétrico, \vec{E}, no centro do retângulo (explicite e justifique seus cálculos).
Passo 1
O enunciado apresenta quatro cargas pontuais nos vértices de um retângulo de largura a e comprimento b (a<b). Duas cargas valem q e estão em vértices opostos, e as outras duas valem 2q nos vértices restantes, também opostos. Vamos calcular (a) a energia potencial eletrostática U dessa distribuição e (b) o campo elétrico \vec E no centro do retângulo. Para isso usaremos a fórmula da energia de um sistema de cargas pontuais
entre as duas cargas q (distância diagonal \sqrt{a^2+b^2}),
entre as duas cargas 2q (mesma distância),
entre cada carga q e cada carga 2q. Cada carga q interage com duas cargas 2q, totalizando quatro interações q–2q. Dessas quatro, duas ocorrem a uma distância a e duas a uma distância b.
Passo 3
Calculamos o somatório das energias de cada par:
– par q–q:
Usando a disposição (a/2,b/2) e (-a/2,-b/2) para as cargas q, e (-a/2,b/2), (a/2,-b/2) para as cargas 2q, verifica-se que \sum_i q_i\,x_i=0 e \sum_i q_i\,y_i=0. Logo
E_x=0 \quad\text{e}\quad E_y=0.
Resposta
(a)
U = k\,q^2\Bigl(\frac{5}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{4}{a} + \frac{4}{b}\Bigr).