( 1,5 pontos) CAMPO ELÉTRICO E ENERGIA. Nos vértices de um retângulo (largura a \mathrm{e} comprimento b ; a<b ) há quatro cargas, sendo duas iguas a q e as outras iguais a 2 q. Suponha que as cargas q estejam localizadas em vértices opostos. a) Calcule a energia, U, (ou trabalho, caso prefira esta terminologia), desta configuração de cargas. b) Calcule o campo elétrico, \vec{E}, no centro do retângulo (explicite e justifique seus cálculos).

Passo 1

O enunciado apresenta quatro cargas pontuais nos vértices de um retângulo de largura a e comprimento b ( a<b). Duas cargas valem q e estão em vértices opostos, e as outras duas valem 2q nos vértices restantes, também opostos. Vamos calcular (a) a energia potencial eletrostática U dessa distribuição e (b) o campo elétrico \vec E no centro do retângulo. Para isso usaremos a fórmula da energia de um sistema de cargas pontuais
U \;=\;\sum_{i<j}k\,\frac{q_i\,q_j}{r_{ij}}
e a superposição de campos
\vec E(\vec r)\;=\;\sum_i k\,q_i\frac{\vec r-\vec r_i}{\bigl|\vec r-\vec r_i\bigr|^3}\,.

Passo 2

Identificamos as seis interações par a par:
  1. entre as duas cargas q (distância diagonal \sqrt{a^2+b^2}),
  2. entre as duas cargas 2q (mesma distância),
  3. entre cada carga q e cada carga 2q. Cada carga q interage com duas cargas 2q, totalizando quatro interações q 2q. Dessas quatro, duas ocorrem a uma distância a e duas a uma distância b.

Passo 3

Calculamos o somatório das energias de cada par:
– par q q:
U_{qq} = k\,\frac{q\cdot q}{\sqrt{a^2+b^2}} = k\,\frac{q^2}{\sqrt{a^2+b^2}}.
– par 2q 2q:
U_{2q\,2q} = k\,\frac{(2q)\,(2q)}{\sqrt{a^2+b^2}} = 4\,k\,\frac{q^2}{\sqrt{a^2+b^2}}.
– pares q 2q: duas a distância a e duas a distância b, cada interação valendo
\;k\,(q)(2q)/r. Logo
U_{q,2q} = 2\;k\,\frac{2q^2}{a} \;+\; 2\;k\,\frac{2q^2}{b} = 4\,k\,q^2\Bigl(\frac1a+\frac1b\Bigr).

Passo 4

Somando tudo,
U = U_{qq}+U_{2q\,2q}+U_{q,2q} = k\,q^2\Bigl(\frac1{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{4}{\sqrt{a^2+b^2}} + 4\Bigl(\frac1a+\frac1b\Bigr)\Bigr)
que se simplifica para
U = k\,q^2\Bigl(\frac{5}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{4}{a} + \frac{4}{b}\Bigr).

Passo 5

Para o campo no centro escolhemos o centro em (0,0) e os vértices em \bigl(\pm a/2,\pm b/2\bigr). A distância de cada carga ao centro é
r_0=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}
e a contribuição de cada carga q_i é
\vec E_i = k\,q_i\, \frac{(0,0)-(\,x_i,y_i\,)}{r_0^3} = -\,k\,\frac{q_i}{r_0^3}\,(x_i,y_i).

Passo 6

Somando as componentes:
E_x = -\,\frac{k}{r_0^3}\sum_i q_i\,x_i, \qquad E_y = -\,\frac{k}{r_0^3}\sum_i q_i\,y_i.
Usando a disposição (a/2,b/2) e (-a/2,-b/2) para as cargas q, e (-a/2,b/2), (a/2,-b/2) para as cargas 2q, verifica-se que
\sum_i q_i\,x_i=0 e \sum_i q_i\,y_i=0. Logo
E_x=0 \quad\text{e}\quad E_y=0.

Resposta

(a)
U = k\,q^2\Bigl(\frac{5}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{4}{a} + \frac{4}{b}\Bigr).
(b)
\vec E(0,0)=\vec 0.

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