A equação horária da posição de um objeto partindo do repouso e posição inicial igual a zero é s=1 / 2 at ^{2}. Sabendo que a=(9,81 \pm 0,06) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, calcule:
a) A posição do objeto (s) no instante t=(3,72 \pm 0,14) \mathrm{s} pela Teoria do Desvio Padrão. (1,0 ponto)
b) A velocidade do móvel (\mathrm{v}=\mathrm{at}) nesse mesmo instante pela Teoria do Desvio Máximo. (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá a equação horária
s = \tfrac12\,a\,t^2
com a=(9,81\pm0,06)\,\mathrm{m/s^2} e t=(3,72\pm0,14)\,\mathrm{s}.
a) Para obter s com a Teoria do Desvio Padrão, vamos usar propagação de incertezas de primeira ordem.
b) Para obter v=a\,t com a Teoria do Desvio Máximo, vamos calcular o erro máximo por somar contribuições de a e t.

Passo 2

Derivadas parciais de s em relação a a e t:
\frac{\partial s}{\partial a} = \tfrac12\,t^2 \quad,\quad \frac{\partial s}{\partial t} = a\,t
Fórmula de propagação (desvio padrão)
\sigma_s = \sqrt{\Bigl(\tfrac{\partial s}{\partial a}\,\sigma_a\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{\partial s}{\partial t}\,\sigma_t\Bigr)^2}\,.

Passo 3

Cálculo numérico de s e \sigma_s:
s_{\rm nom} = \tfrac12 \times 9{,}81 \times (3{,}72)^2 \approx 67{,}93~\mathrm{m},
\tfrac{\partial s}{\partial a} = \tfrac12\times(3{,}72)^2 \approx 6{,}92, \quad \tfrac{\partial s}{\partial t} = 9{,}81\times3{,}72 \approx 36{,}50,
\sigma_s = \sqrt{(6{,}92\times0{,}06)^2 + (36{,}50\times0{,}14)^2} \approx \sqrt{0{,}172 + 26{,}12} \approx 5{,}13~\mathrm{m}.
Logo
s = (67{,}9 \pm 5{,}1)\,\mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo de v e erro máximo \Delta v:
v_{\rm nom} = a_{\rm nom}\,t_{\rm nom} = 9{,}81 \times 3{,}72 \approx 36{,}50~\mathrm{m/s}.
Pela Teoria do Desvio Máximo
\Delta v = \bigl|\tfrac{\partial v}{\partial a}\bigr|\Delta a + \bigl|\tfrac{\partial v}{\partial t}\bigr|\Delta t = |t|\Delta a + |a|\Delta t = 3{,}72\times0{,}06 + 9{,}81\times0{,}14 \approx 1{,}60~\mathrm{m/s}.
Portanto
v = (36{,}5 \pm 1{,}6)\,\mathrm{m/s}.

Resposta

a) s = (67{,}9 \pm 5{,}1)\,\mathrm{m}
b) v = (36{,}5 \pm 1{,}6)\,\mathrm{m/s}

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