(3,4 pontos ) Um cano, de diâmetro \mathrm{d}_{1}=1,50 \mathrm{~cm}, tem água fluindo com velocidado de v 4,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Ele sobe até uma altura de 12,5 \mathrm{~m} e seu diâmetro passa a ser d2 =2,20 \mathrm{~cm}.
a pressão atmosférica, determine a pressão no ponto mais alto.
b) Qual a vazão mássica através do cano?

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento estacionário de água em um cano que parte de um ponto 1, onde o diâmetro é \mathrm{d}_1=1,50\,\mathrm{cm}, a velocidade é \mathrm{v}_1=4,50\,\mathrm{m/s} e a pressão é a atmosférica (tomada como pressão de referência, ou seja, p_1=0 em condição gauge). Esse cano sobe até z_2=12,5\,\mathrm{m} e passa a ter diâmetro \mathrm{d}_2=2,20\,\mathrm{cm}.
Conteúdos necessários:
  • Equação da continuidade para fluido incompressível.
  • Equação de Bernoulli sem perdas.

Passo 2

Usando continuidade, A_1v_1=A_2v_2, onde
A_i = \frac{\pi\,\mathrm{d}_i^2}{4}\,.
Logo
v_2 = v_1\Bigl(\frac{d_1}{d_2}\Bigr)^2 =4,50\;\mathrm{m/s}\times\Bigl(\frac{1,50}{2,20}\Bigr)^{\!2} \approx2,09\;\mathrm{m/s}\,.

Passo 3

Aplica-se Bernoulli entre 1 e 2 (sem atrito, escoamento incompressível):
\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1 =\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2.
Como p_1=0 (gauge), z_1=0, z_2=12,5\,\mathrm{m} e \rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}, isola-se p_2 (gauge):
p_2 = \rho\Bigl[\frac{v_1^2 - v_2^2}{2} - g\,(z_2 - z_1)\Bigr].
Substituindo
p_2 = 1000\Bigl[\frac{4,50^2 - 2,09^2}{2} - 9,81\cdot12,5\Bigr]\;\mathrm{Pa} \approx -1,15\times10^{5}\;\mathrm{Pa}\,.
Isso significa que a pressão gauge no ponto mais alto seria -1,15\times10^5\;\mathrm{Pa}, ou seja, bem abaixo da atmosfera (indicando que tende a cavitar).

Passo 4

A vazão volumétrica é
Q = A_1\,v_1 = \frac{\pi\,(0,015\,\mathrm{m})^2}{4}\times4,50\,\mathrm{m/s} \approx7,95\times10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}.
A vazão mássica é
\dot m = \rho\,Q =1000\,\mathrm{kg/m^3}\times7,95\times10^{-4}\,\mathrm{m^3/s} =0,795\,\mathrm{kg/s}.

Resposta

Pressão no ponto mais alto (gauge): -1,15\times10^5\;\mathrm{Pa}.
Vazão mássica: 0,795\;\mathrm{kg/s}.

Exercícios relacionados