2^{\text {a }} Questão (2,0):

Considere o conjunto de três filtros polarizadores dispostos de modo que o eixo do segundo polarizador forme um ângulo \theta com o eixo do primeiro polarizador e o eixo do terceiro polarizador forme um ângulo de 90^{\circ} com o eixo do primeiro polarizador. (a) Informe o estado de polarização da luz que emerge cada filtro e mostre que quando a luz não-polarizada com intensidade I_{0} incide sobre esse conjunto de polarizadores a intensidade da luz transmitida será igual a 0,125 I_{0} \sin ^{2}(2 \theta). (b) Se o segundo filtro for removido, qual deverá ser a intensidade da luz que emergirá de cada filtro restante?

Passo 1

O enunciado trata de três polarizadores lineares em série: o primeiro tem eixo de transmissão de referência, o segundo está girado de um ângulo \theta em relação ao primeiro, e o terceiro está girado de 90^\circ em relação ao primeiro. A luz incidente é não polarizada de intensidade I_{0}. Vamos usar dois resultados fundamentais: (i) um polarizador sobre luz não polarizada transmite metade da intensidade, produzindo luz linearmente polarizada ao longo do seu eixo; (ii) a lei de Malus, que diz que luz linearmente polarizada de intensidade I ao incidir em um polarizador cuja direção forma um ângulo \varphi com a polarização, transmite intensidade I\cos^2\!\varphi.

Passo 2

Quando luz não polarizada de intensidade I_{0} atravessa o primeiro polarizador, a intensidade transmitida torna-se
I_{1} = \frac{I_{0}}{2},
e o estado de polarização resultante é linear ao longo do eixo do primeiro polarizador.

Passo 3

Essa luz polarizada ao longo do eixo do primeiro polarizador incide no segundo polarizador, cujo eixo forma ângulo \theta com o primeiro. Pela lei de Malus,
I_{2} = I_{1}\cos^2\!\theta = \frac{I_{0}}{2}\cos^2\!\theta,
e a luz emergente fica polarizada ao longo do eixo do segundo polarizador (ângulo \theta em relação ao primeiro).

Passo 4

A luz sai do segundo polarizador com polarização a \theta e incide no terceiro, cujo eixo forma 90^\circ com o primeiro, isto é, ângulo \varphi = 90^\circ - \theta em relação à polarização \theta. Aplica-se novamente Malus:
I_{3} = I_{2}\cos^2\!(90^\circ - \theta) = \frac{I_{0}}{2}\cos^2\!\theta\;\sin^2\!\theta.
Como \cos^2\!\theta\,\sin^2\!\theta = \tfrac14\sin^2(2\theta), chega-se a
I_{3} = \frac{I_{0}}{2}\,\frac{1}{4}\sin^2(2\theta) = \frac{1}{8}I_{0}\,\sin^2(2\theta).

Passo 5

Para a parte (b), removendo o segundo polarizador, a luz não polarizada de I_{0} atravessa primeiro polarizador e fica com
I_{1}' = \frac{I_{0}}{2},
polarizada ao longo do eixo do primeiro. Essa luz então incide no terceiro, que está a 90^\circ desse eixo, e pela lei de Malus
I_{2}' = I_{1}'\cos^2(90^\circ) = \frac{I_{0}}{2}\times 0 = 0.

Resposta

(a) Após cada filtro a luz fica linearmente polarizada ao longo do eixo do filtro e a intensidade final é
I_{\text{trans}} = \frac{1}{8}\,I_{0}\,\sin^2(2\theta).
(b) Com o segundo filtro removido, a intensidade após o primeiro é I_{1}' = I_{0}/2 e a transmitida pelo terceiro é 0.

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