1. ( 2,5 pontos) Em um circuito LC oscilante com C=80,0 \mu \mathrm{~F} a corrente é dada por i= (1,60) \operatorname{sen}(2500 t-0,680), onde t está em segundos, i em amperes e a constante de fase em radianos. (a) Quanto tempo após o instante t=0 a corrente atinge o valor máximo? (b) Qual o valor da indutância L? (c) Qual a energia total?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Capacitância: C=80{,}0\\ \mu\mathrm{F}=80{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
    • Corrente: i(t)=1{,}60\\ \sin\bigl(2500\,t-0{,}680\bigr) (com t em segundos e i em ampères).
  • Quantidades que o enunciado pede:
    • (a) O tempo após t=0 em que a corrente atinge o valor máximo pela primeira vez.
    • (b) O valor da indutância L.
    • (c) A energia total do circuito oscilante (energia armazenada, constante ao longo da oscilação).

Passo 2

Entendendo a forma da corrente e quando ela é máxima (aulas rápidas e intuitivas).
  • A corrente é dada por \,i(t)=I_0\sin(\omega t-\varphi)\,, onde:
    • I_0 é a amplitude máxima da corrente.
    • \omega é a pulsação angular (frequência angular).
    • \varphi é a constante de fase.
  • Comparando com a função dada:
    • I_0=1{,}60\\ \mathrm{A}.
    • \omega=2500\\ \mathrm{rad/s}.
    • \varphi=0{,}680\\ \mathrm{rad}.
  • Quando a função \sin(\theta) atinge seu máximo +1?
    • Quando \theta=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k, com k\in\mathbb{Z}.
  • Aplicando isso ao argumento \theta=\omega t-\varphi:
    • \omega t-\varphi=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k.

Passo 3

Calcular o primeiro instante t>0 em que a corrente é máxima.
  • Isolando t: t=\frac{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k+\varphi}{\omega}.
  • Para obter o menor t>0 escolhemos k=0 (o próximo máximo negativo ou anterior daria t\le0 ou maior): t=\frac{\dfrac{\pi}{2}+\varphi}{\omega}.
  • Substituindo os valores numéricos: t=\frac{\dfrac{\pi}{2}+0{,}680}{2500}.
  • Cálculo numérico (aproximações usuais de \pi): \dfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708\quad\Rightarrow\quad \dfrac{\pi}{2}+0{,}680\approx2{,}2508,
t\approx\frac{2{,}2508}{2500}=0{,}00090032\\ \mathrm{s}=9{,}0032\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.
  • Em unidades mais usuais: t\approx0{,}9003\\ \mathrm{ms}.

Passo 4

Relação entre \omega, L e C num circuito LC ideal (aula rápida).
  • Para um circuito LC ideal sem perda, a pulsação angular natural é \omega=\frac{1}{\sqrt{L\,C}}.Aqui:
    • \omega é a pulsação angular (rad/s).
    • L é a indutância (H).
    • C é a capacitância (F).
  • Isolando L: L=\frac{1}{\omega^{2}C}.

Passo 5

Calcular L com os valores dados.
  • Substituindo \omega=2500\\ \mathrm{rad/s} e C=80{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F}: \omega^{2}=(2500)^{2}=6{,}25\times10^{6},
\omega^{2}C=(6{,}25\times10^{6})\cdot(80{,}0\times10^{-6})=6{,}25\times80{,}0=500,
portanto
L=\frac{1}{500}=0{,}002\\ \mathrm{H}=2{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{H}=2{,}00\\ \mathrm{mH}.

Passo 6

Fórmula da energia total no oscilador LC e cálculo (ensinando por que funciona).
  • Em um circuito LC ideal a energia total E é conservada e pode ser escrita como energia máxima armazenada no indutor ou no capacitor. A fórmula usando a corrente máxima I_0 é E=\frac{1}{2}L I_{0}^{2},onde:
    • E é a energia em joules.
    • L é a indutância em henry.
    • I_{0} é a amplitude da corrente em ampères.
  • Substituindo L=0{,}002\\ \mathrm{H} e I_{0}=1{,}60\\ \mathrm{A}: E=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}002\cdot (1{,}60)^{2}.
  • Cálculo: \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}002=0{,}001,\qquad (1{,}60)^{2}=2{,}56,
E=0{,}001\cdot 2{,}56=0{,}00256\\ \mathrm{J}=2{,}56\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Verificação alternativa rápida (didática): energia pelo capacitor e tensão máxima.
  • A amplitude da tensão no capacitor é \,V_{0}=\dfrac{I_{0}}{\omega C}\,. Substituindo: V_{0}=\frac{1{,}60}{2500\cdot80{,}0\times10^{-6}}=\frac{1{,}60}{0{,}200}=8{,}0\\ \mathrm{V}.
  • Energia no capacitor máxima: E=\tfrac{1}{2}C V_{0}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot80{,}0\times10^{-6}\cdot 8{,}0^{2}=0{,}00256\\ \mathrm{J},que coincide com o valor obtido usando o indutor (boa checagem).

Resposta

(a) t\approx9{,}0032\times10^{-4}\\ \mathrm{s} (aproximadamente 0{,}9003\\ \mathrm{ms})
(b) L=2{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{H} (ou 2{,}00\\ \mathrm{mH})
(c) E=2{,}56\times10^{-3}\\ \mathrm{J}

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