- ( 2,5 pontos) Em um circuito LC oscilante com
a corrente é dada por
, onde
está em segundos,
em amperes e a constante de fase em radianos. (a) Quanto tempo após o instante
a corrente atinge o valor máximo? (b) Qual o valor da indutância L? (c) Qual a energia total?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
- Dados (pegos do enunciado):
- Capacitância:
. - Corrente:
(com em segundos e em ampères).
- Capacitância:
- Quantidades que o enunciado pede:
- (a) O tempo após
em que a corrente atinge o valor máximo pela primeira vez. - (b) O valor da indutância
. - (c) A energia total do circuito oscilante (energia armazenada, constante ao longo da oscilação).
- (a) O tempo após
Passo 2
Entendendo a forma da corrente e quando ela é máxima (aulas rápidas e intuitivas).
-
A corrente é dada por
, onde: -
é a amplitude máxima da corrente. -
é a pulsação angular (frequência angular). -
é a constante de fase.
-
-
Comparando com a função dada:
-
. -
. -
.
-
-
Quando a função
atinge seu máximo ? - Quando
, com .
- Quando
-
Aplicando isso ao argumento
: -
.
-
Passo 3
Calcular o primeiro instante
em que a corrente é máxima.
- Isolando
: - Para obter o menor
escolhemos (o próximo máximo negativo ou anterior daria ou maior): - Substituindo os valores numéricos:
- Cálculo numérico (aproximações usuais de
):
- Em unidades mais usuais:
.
Passo 4
Relação entre
,
e
num circuito LC ideal (aula rápida).
- Para um circuito LC ideal sem perda, a pulsação angular natural é
Aqui: -
é a pulsação angular (rad/s). -
é a indutância (H). -
é a capacitância (F).
-
- Isolando
:
Passo 5
Calcular
com os valores dados.
- Substituindo
e :
portanto
Passo 6
Fórmula da energia total no oscilador LC e cálculo (ensinando por que funciona).
- Em um circuito LC ideal a energia total
é conservada e pode ser escrita como energia máxima armazenada no indutor ou no capacitor. A fórmula usando a corrente máxima é onde: -
é a energia em joules. -
é a indutância em henry. -
é a amplitude da corrente em ampères.
-
- Substituindo
e : - Cálculo:
Passo 7
Verificação alternativa rápida (didática): energia pelo capacitor e tensão máxima.
- A amplitude da tensão no capacitor é
. Substituindo: - Energia no capacitor máxima:
que coincide com o valor obtido usando o indutor (boa checagem).
Resposta
(a)
(aproximadamente
)
(b) (ou
)
(c)
(b)
(c)