(2,5 pontos) Uma onda eletromagnética senoidal plana se propagando no ar possui comprimento de onda de 3,64 \mathrm{~cm} e a amplitude do campo \vec{E} igual a 1,65 \mathrm{~V} / \mathrm{m}. (a) Qual é a frequência? (b) Qual é a amplitude do campo \vec{B} ? (c) Qual a intensidade? (d) Qual é a força média que essa radiaçâo exerce sobre a superficie totalmente absorvedora perpendicular à direção de propagação com área igual a 0,240 \mathrm{~m}^{2} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Comprimento de onda: \lambda = 3{,}64\\ \mathrm{cm}. (Vou usar \lambda = 0{,}0364\\ \mathrm{m}.)
  • Amplitude do campo elétrico: E_{0}=1{,}65\\ \mathrm{V/m}.
  • Área da superfície absorvedora: A=0{,}240\\ \mathrm{m}^{2}.
  • A onda se propaga no ar (aproximamos parâmetros do ar pelos do vácuo: c e \varepsilon_{0} como constantes conhecidas).
O que é pedido:
(a) a frequência da onda;
(b) a amplitude do campo magnético B_{0};
(c) a intensidade (fluxo de energia por unidade de área) média I;
(d) a força média exercida sobre a superfície totalmente absorvedora perpendicular à direção de propagação com área A.
Constantes que vou usar (valores padrão):
  • velocidade da luz no ar (aproximada pela do vácuo): c = 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • permissividade do vácuo: \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 2

(a) Calcular a frequência usando a relação básica entre velocidade, comprimento de onda e frequência:
c=\lambda f.
Aqui c é a velocidade de propagação da onda (m/s), \lambda é o comprimento de onda (m) e f é a frequência (Hz). Isolando f:
f=\frac{c}{\lambda}.
Substituindo os valores:
f=\frac{3{,}00\times10^{8}}{0{,}0364}=8{,}24\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação didática: essa fórmula diz que a velocidade da onda é quantas vezes a crista passa por um ponto por segundo ( f) vezes a distância entre cristas ( \lambda). Como a luz é muito rápida e a onda é curta ( 3{,}64\\ \mathrm{cm}), a frequência fica na casa de gigahertz.

Passo 3

(b) Amplitude do campo magnético B_{0}.
Para uma onda eletromagnética plana no vácuo (ou no ar), os campos elétrico e magnético transversais estão relacionados por
E_{0}=c\,B_{0},
onde E_{0} é a amplitude do campo elétrico (V/m), B_{0} é a amplitude do campo magnético (T) e c é a velocidade da luz (m/s). Isolando B_{0}:
B_{0}=\frac{E_{0}}{c}.
Substituindo:
B_{0}=\frac{1{,}65}{3{,}00\times10^{8}}=5{,}50\times10^{-9}\\ \mathrm{T}.
Explicação extra: essa relação vem do fato de que, na onda, E e B são proporcionais e a constante de proporcionalidade é a velocidade de propagação c.

Passo 4

(c) Intensidade média I.
Definição física: a intensidade média de uma onda eletromagnética plana é a potência média transportada por unidade de área. Pode-se obter a intensidade média a partir do vetor de Poynting \vec{S}=(1/\mu_{0})\vec{E}\times\vec{B}. Para uma onda senoidal a média temporal de |\vec{S}| vale
I=\langle S\rangle = \frac{1}{2}\varepsilon_{0} c E_{0}^{2}.
Aqui \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo, c é a velocidade da luz e E_{0} é a amplitude do campo elétrico. Explicando as variáveis: \varepsilon_{0} tem unidades \mathrm{F/m}, E_{0} em \mathrm{V/m}, então o produto resulta em \mathrm{W/m^{2}} como deve ser.
Agora calculo:
I=\frac{1}{2}\cdot(8{,}85\times10^{-12})\cdot(3{,}00\times10^{8})\cdot(1{,}65)^{2}.
Faço em etapas (para você conseguir replicar sem calculadora, lembro as multiplicações em passos):
  • (1{,}65)^{2}=2{,}7225.
  • \varepsilon_{0}c=(8{,}85\times10^{-12})\cdot(3{,}00\times10^{8})=2{,}655\times10^{-3}.
  • \frac{1}{2}\varepsilon_{0}c=1{,}3275\times10^{-3}.
  • Finalmente I=(1{,}3275\times10^{-3})\cdot2{,}7225=3{,}61\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Intuição física: com amplitude elétrica pequena ( 1{,}65\\ \mathrm{V/m}), a intensidade é bem pequena, da ordem de milésimos de watt por metro quadrado.

Passo 5

(d) Força média sobre superfície totalmente absorvedora.
Primeiro, pressão de radiação sobre superfície totalmente absorvedora (quando a onda incide perpendicularmente) é
p_{\mathrm{rad}}=\frac{I}{c},
pois toda a quantidade de momento transportada pela onda é absorvida pela superfície. A força média é então
F=p_{\mathrm{rad}}\,A=\frac{I\,A}{c},
onde A é a área da superfície.
Usando os valores já calculados:
F=\frac{(3{,}61\times10^{-3})\cdot0{,}240}{3{,}00\times10^{8}}.
Calculo em etapas:
  • I\cdot A=3{,}61\times10^{-3}\cdot0{,}240=8{,}664\times10^{-4}\\ \mathrm{W}.
  • Dividindo por c: F=\dfrac{8{,}664\times10^{-4}}{3{,}00\times10^{8}}=2{,}89\times10^{-12}\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a força é extremamente pequena (pico bastante minúsculo) — típico de pressão de radiação de fontes não intensas.

Resposta

(a) 8{,}24\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}
(b) 5{,}50\times10^{-9}\\ \mathrm{T}
(c) 3{,}61\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}
(d) 2{,}89\times10^{-12}\\ \mathrm{N}

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