(2,0 pontos) Classifique as seguintes afirmações em Verdadeiro (V) ou Falso (F) (questões rasuradas não serão consideradas):
OBS: Em todas as sentenças considere que estamos em \mathbb{R}^{3}.
( ) Uma reta formada pela interseção de dois planos possui como vetor diretor um vetor que é perpendicular a ambos os vetores normais dos planos.
( ) A equação de um plano é determinada se são dados três pontos P_{1}, P_{2} e P_{3} quaisquer.
( ) Dois planos são paralelos se, e somente se, o ângulo entre eles é igual a zero.
( ) A distância entre os planos \pi_{1}: x+y-z+3=0 e \pi_{2}: 3 x-y+z=0 é \frac{8 \sqrt{3}}{3}.
( ) Se duas retas r e s são perpendiculares, então as retas r e s são ortogonais.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os itens que precisamos avaliar. O enunciado apresenta cinco sentenças sobre geometria em \mathbb{R}^3 e pede para classificá‑las como Verdadeira (V) ou Falsa (F). As cinco sentenças, na ordem, são:
Uma reta formada pela interseção de dois planos possui como vetor diretor um vetor que é perpendicular a ambos os vetores normais dos planos.
A equação de um plano é determinada se são dados três pontos P_{1},P_{2} e P_{3} quaisquer.
Dois planos são paralelos se, e somente se, o ângulo entre eles é igual a zero.
A distância entre os planos \pi_{1}: x+y-z+3=0 e \pi_{2}: 3x-y+z=0 é \dfrac{8\sqrt{3}}{3}.
Se duas retas r e s são perpendiculares, então as retas r e s são ortogonais.
Não há outras informações numéricas além das equações dos planos no item 4. A tarefa é analisar cada afirmação, explicando os conceitos usados e decidir V ou F.
Passo 2
Analisando a sentença 1: “Uma reta formada pela interseção de dois planos possui como vetor diretor um vetor que é perpendicular a ambos os vetores normais dos planos.”
Explicação da teoria necessária (passo a passo, simples):
Um plano em \mathbb{R}^3 pode ser dado por uma equação ax+by+cz+d=0. O vetor normal do plano é \mathbf{n}=(a,b,c). Esse vetor é perpendicular a qualquer vetor contido no plano.
Se dois planos têm vetores normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, a interseção deles (quando não coincidem nem são paralelos) é uma reta. O vetor diretor \mathbf{v} dessa reta está contido em ambos os planos, logo é perpendicular a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2.
Uma forma concreta de obter \mathbf{v} é o produto vetorial \mathbf{v} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2. Propriedade: \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}_1=0 e \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}_2=0, portanto \mathbf{v} é perpendicular a ambos.
Exemplo simples: Se \mathbf{n}_1=(1,0,0) e \mathbf{n}_2=(0,1,0), então \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2=(0,0,1), que é o vetor diretor da reta de interseção z-direção.
Conclusão: a sentença está correta. Portanto a sentença 1 é Verdadeira.
Passo 3
Analisando a sentença 2: “A equação de um plano é determinada se são dados três pontos P_{1},P_{2} e P_{3} quaisquer.”
Explicação da teoria necessária:
Três pontos não colineares determinam unicamente um plano: a ideia é formar dois vetores diretores \overrightarrow{P_1P_2} e \overrightarrow{P_1P_3}; o produto vetorial desses dois vetores dá um vetor normal ao plano, e daí a equação do plano.
Porém, se os três pontos são colineares (ou seja, estão todos sobre a mesma reta), então existe uma infinidade de planos que contêm essa reta, logo não determinam um único plano.
Contra‑exemplo explícito para mostrar que a frase como escrita (“quaisquer”) é falsa:
Tome P_1=(0,0,0), P_2=(1,1,1), P_3=(2,2,2). Esses três pontos são colineares (pois \overrightarrow{P_1P_2}=(1,1,1) e \overrightarrow{P_1P_3}=(2,2,2)=2\overrightarrow{P_1P_2}). Não existe um único plano determinado por esses três pontos — há infinitos planos contendo essa reta.
Logo a frase que diz “três pontos quaisquer” é incorreta porque falha no caso colinear.
Conclusão: a sentença 2 é Falsa.
Passo 4
Analisando a sentença 3: “Dois planos são paralelos se, e somente se, o ângulo entre eles é igual a zero.”
Explicação da teoria necessária e clarificação:
O ângulo entre dois planos é definido como o ângulo entre seus vetores normais. Mais precisamente, costuma‑se tomar o ângulo agudo entre os vetores normais.
Se o ângulo entre os vetores normais é 0 (ou 180^\circ), então os vetores normais são paralelos (ou antiparalelos), o que significa que os planos são paralelos (podendo ser coincidentes se também tiverem o mesmo termo independente d apropriado). Reciprocamente, se dois planos são paralelos, seus normais são paralelos, logo o ângulo entre os planos é 0.
Portanto a equivalência “planos paralelos \Leftrightarrow ângulo entre eles igual a zero” é correta (considerando a convenção usual de ângulo do plano no intervalo [0,90^\circ]).
Observação adicional (didática): ângulo nulo inclui o caso de planos coincidentes também; em muitas provas isso é aceito como paralelo (do ponto de vista direcional).
Conclusão: a sentença 3 é Verdadeira.
Passo 5
Analisando a sentença 4: “A distância entre os planos \pi_{1}: x+y-z+3=0 e \pi_{2}: 3x-y+z=0 é \dfrac{8\sqrt{3}}{3}.”
Teoria necessária e verificação:
A fórmula clássica para a distância entre dois planos paralelos \mathbf{n}\cdot \mathbf{x}+d_1=0 e \mathbf{n}\cdot \mathbf{x}+d_2=0 é \dfrac{|d_2-d_1|}{\|\mathbf{n}\|}. Observação importante: essa fórmula só vale se os planos forem paralelos (ou seja, seus vetores normais são proporcionais).
Aqui os vetores normais são \mathbf{n}_1=(1,1,-1) para \pi_1 e \mathbf{n}_2=(3,-1,1) para \pi_2.
Verificação de paralelismo: se fossem paralelos, existiria \lambda tal que \mathbf{n}_2=\lambda\mathbf{n}_1. Mas comparar coordenadas mostra que não existe \lambda que satisfaça simultaneamente 3=\lambda\cdot1, -1=\lambda\cdot1 e 1=\lambda\cdot(-1) (essas equações dariam \lambda=3, \lambda=-1, \lambda=-1, contradição). Logo os planos não são paralelos.
Como não são paralelos, a noção de “distância entre planos” usando a fórmula acima não se aplica — a distância mínima entre dois planos não paralelos é zero porque eles se intersectam em uma reta (se não são coincidentes nem paralelos, intersectam-se). Portanto não faz sentido afirmar um valor positivo como dado.
Logo a afirmação que dá um valor numérico é falsa.
Conclusão: a sentença 4 é Falsa.
Passo 6
Analisando a sentença 5: “Se duas retas r e s são perpendiculares, então as retas r e s são ortogonais.”
Explicação didática sobre terminologia:
Em geometria e álgebra linear, os termos “perpendicular” e “ortogonal” são sinônimos: ambos indicam que o ângulo entre as direções é 90^\circ. Para retas que se intersectam formando um ângulo reto, diz‑se que são perpendiculares ou que são ortogonais.
Há uma pequena armadilha terminológica: às vezes “ortogonal” é usado para dizer que os vetores diretores são ortogonais (ou seja, seu produto escalar é zero) — essa definição inclui casos de retas não concorrentes (retas reversas/skew) cujos vetores diretores são ortogonais; contudo a sentença aqui afirma apenas a implicação direta “perpendiculares \Rightarrow ortogonais”, e essa implicação é verdadeira, pois se as retas são perpendiculares (intersectam em ângulo reto), então certamente seus vetores diretores têm produto escalar zero, logo são ortogonais.
Em outras palavras: perpendicularidade (no sentido de retas que se intersectam em 90^\circ) implica ortogonalidade (vetores diretores ortogonais). Portanto a sentença é verdadeira.