( 2,0 pontos) Escreva as equações vetorial, paramétricas e geral do plano \pi que passa pelos pontos A=(-2,0,-3), B=(-2,1,-2) e C=(0,-1,-2).
Passo 1
O enunciado pede as equações do plano \pi que passa pelos pontos
A = (-2,0,-3),\qquad B = (-2,1,-2),\qquad C = (0,-1,-2).
As respostas solicitadas são:
a equação vetorial do plano \pi;
as equações paramétricas do plano \pi;
a equação geral (cartesiana) do plano \pi.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): um plano pode ser dado por um ponto do plano mais dois vetores diretores que estejam contidos no plano. Se \vec{r}_0 é um vetor posição de um ponto do plano e \vec{u},\vec{v} são vetores diretores linearmente independentes, a equação vetorial do plano é
As equações paramétricas vêm separando as componentes dessa equação vetorial. Para obter a equação geral (cartesiana) do plano é útil calcular um vetor normal \vec{n} ao plano: se \vec{n} é normal e (x,y,z) é ponto genérico do plano, vale
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-\vec{r}_0\bigr)=0,
o que expande para a forma ax+by+cz+d=0. Agora vamos aplicar isso aos pontos dados.
Passo 3
Calcular dois vetores diretores do plano a partir dos pontos dados, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Verificação rápida: \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são múltiplos entre si, logo são linearmente independentes e servem como vetores diretores do plano.
Passo 4
Escrever a equação vetorial do plano usando o ponto A como ponto de referência e \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} como vetores diretores.
Definindo \vec{r}=(x,y,z) e \vec{r}_A=(-2,0,-3), a equação vetorial é
Obter as equações paramétricas separando as componentes da equação vetorial.
Da equação vetorial temos, componente a componente,
\begin{cases} x = -2 + 0\cdot s + 2\cdot t,\\[4pt] y = 0 + 1\cdot s + (-1)\cdot t,\\[4pt] z = -3 + 1\cdot s + 1\cdot t. \end{cases}
Simplificando:
\begin{cases} x = -2 + 2t,\\[4pt] y = s - t,\\[4pt] z = -3 + s + t, \end{cases}\qquad s,t\in\mathbb{R}.]
Passo 6
Calcular um vetor normal \vec{n} ao plano usando o produto vetorial \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Vou explicar como calcular o produto vetorial: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),