( 2,0 pontos) Escreva as equações vetorial, paramétricas e geral do plano \pi que passa pelos pontos A=(-2,0,-3), B=(-2,1,-2) e C=(0,-1,-2).

Passo 1

O enunciado pede as equações do plano \pi que passa pelos pontos
A = (-2,0,-3),\qquad B = (-2,1,-2),\qquad C = (0,-1,-2).
As respostas solicitadas são:
  • a equação vetorial do plano \pi;
  • as equações paramétricas do plano \pi;
  • a equação geral (cartesiana) do plano \pi.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): um plano pode ser dado por um ponto do plano mais dois vetores diretores que estejam contidos no plano. Se \vec{r}_0 é um vetor posição de um ponto do plano e \vec{u},\vec{v} são vetores diretores linearmente independentes, a equação vetorial do plano é
\vec{r}=\vec{r}_0+s\vec{u}+t\vec{v},\qquad s,t\in\mathbb{R}.
As equações paramétricas vêm separando as componentes dessa equação vetorial. Para obter a equação geral (cartesiana) do plano é útil calcular um vetor normal \vec{n} ao plano: se \vec{n} é normal e (x,y,z) é ponto genérico do plano, vale
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-\vec{r}_0\bigr)=0,
o que expande para a forma ax+by+cz+d=0. Agora vamos aplicar isso aos pontos dados.

Passo 3

Calcular dois vetores diretores do plano a partir dos pontos dados, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Cálculo de \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB}=B-A = (-2-(-2),\;1-0,\;-2-(-3)) = (0,\;1,\;1).
Cálculo de \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC}=C-A = (0-(-2),\;-1-0,\;-2-(-3)) = (2,\;-1,\;1).
Verificação rápida: \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são múltiplos entre si, logo são linearmente independentes e servem como vetores diretores do plano.

Passo 4

Escrever a equação vetorial do plano usando o ponto A como ponto de referência e \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} como vetores diretores.
Definindo \vec{r}=(x,y,z) e \vec{r}_A=(-2,0,-3), a equação vetorial é
\vec{r}=\vec{r}_A+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC},\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Substituindo os vetores:
\vec{r}=(-2,0,-3)+s(0,1,1)+t(2,-1,1),\qquad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Obter as equações paramétricas separando as componentes da equação vetorial.
Da equação vetorial temos, componente a componente,
\begin{cases} x = -2 + 0\cdot s + 2\cdot t,\\[4pt] y = 0 + 1\cdot s + (-1)\cdot t,\\[4pt] z = -3 + 1\cdot s + 1\cdot t. \end{cases}
Simplificando:
\begin{cases} x = -2 + 2t,\\[4pt] y = s - t,\\[4pt] z = -3 + s + t, \end{cases}\qquad s,t\in\mathbb{R}.]

Passo 6

Calcular um vetor normal \vec{n} ao plano usando o produto vetorial \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Vou explicar como calcular o produto vetorial: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\times\vec{b} = \bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Aplicando com \overrightarrow{AB}=(0,1,1) e \overrightarrow{AC}=(2,-1,1):
\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \bigl(1\cdot1-1\cdot(-1),\;1\cdot2-0\cdot1,\;0\cdot(-1)-1\cdot2\bigr).
Calculando cada componente:
\vec{n}=(1+1,\;2-0,\;0-2)=(2,\;2,\;-2).
Podemos simplificar \vec{n} dividindo por 2, obtendo o vetor normal mais simples
\vec{n}=(1,\;1,\;-1).

Passo 7

Construir a equação geral (cartesiana) do plano usando \vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-\vec{r}_A\bigr)=0.
Com \vec{n}=(1,1,-1) e \vec{r}_A=(-2,0,-3),
(1,1,-1)\cdot\bigl((x,y,z)-(-2,0,-3)\bigr)=0.
Isto é
(1,1,-1)\cdot(x+2,\;y,\;z+3)=0.
Fazendo o produto escalar:
1\cdot(x+2)+1\cdot y +(-1)\cdot(z+3)=0.
Simplificando:
x+2+y -z -3=0 \quad\Longrightarrow\quad x+y-z-1=0.
Ou, de forma mais usual,
x+y-z=1.

Resposta

\vec{r}=(-2,0,-3)+s(0,1,1)+t(2,-1,1),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
\begin{cases} x=-2+2t,\\[4pt] y=s-t,\\[4pt] z=-3+s+t, \end{cases}\qquad s,t\in\mathbb{R}.
x+y-z=1.]

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