Questão 2 (2 pts) - Resolva as seguintes relações de recorrência:
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Relação de recorrência dada:
com condições iniciais - O que se pede: encontrar a fórmula fechada (expressão explícita) de
para todo natural.
Passo 2
Primeiro tratamos a parte homogênea da recorrência (ou seja, ignoramos o termo constante
) para obter a solução geral da homogênea.
- A recorrência homogênea correspondente é
- Para resolver esse tipo de recorrência linear com coeficientes constantes, fazemos a substituição padrão
. Isso gera a equação característica: - Resolvendo essa equação quadrática:
logo as raízes são - Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é uma combinação linear das potências das raízes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
(Explicação rápida e intuitiva: cada raiz da equação característica dá uma solução da forma
; com duas raízes distintas, combinam-se linearmente.)
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da recorrência completa (incluindo o termo constante
).
- Observação: o termo não-homogêneo é uma constante (
). Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos uma solução particular constante: onde é uma constante desconhecida. - Substituindo
na recorrência original:
- Simplificando a equação:
, portanto e
(Comentário didático: tentamos constante porque o lado não-homogêneo é constante. Isso funciona desde que
não seja raiz da equação característica. Se
fosse raiz, teríamos que multiplicar o palpite por
. Aqui as raízes foram
e
, então
não é raiz e o palpite constante é válido.)
Passo 4
Montamos a solução geral da recorrência somando a solução homogênea com a particular:
onde
e
ainda precisam ser determinados pelas condições iniciais.
Passo 5
Usamos as condições iniciais para encontrar [A) e
.
- Para
, Como , obtemos a equação
- Para
, Como , obtemos
Agora resolvemos o sistema linear formado por
- Da primeira equação .]
Passo 6
Encontramos os valores das constantes:
e
. Com isso a solução explícita está completamente determinada.