( 3,0 pontos) No combate a incêndios em florestas, aviões jogam água para ajudar equipes que trabalham no solo. Um piloto em treinamento lança uma caixa com corante vermelho, na esperança de atingir um alvo no solo. Se o avião está voando horizontalmente a 120,0 \mathrm{~m} acima do solo com velocidade constante de 75,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e desprezando a resistência do ar, responda:
(a) ( 1,0 ponto) Qual será o tempo total de voo da caixa?
(b) ( 1,0 ponto) Calcule o módulo da velocidade que a caixa encosta no solo?
(c) ( 1,0 ponto) Qual a distância horizontal percorrida pela caixa a partir do ponto de lançamento?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas. Informações fornecidas:
h=120,0\\ \mathrm{m}
v_{x0}=75,0\\ \mathrm{m/s}
Despreza-se a resistência do ar e o avião voa horizontalmente no instante do lançamento (logo a componente vertical inicial é zero). Perguntas do enunciado:
(a) Qual o tempo total de voo da caixa?
(b) Qual o módulo da velocidade com que a caixa encosta no solo?
(c) Qual a distância horizontal percorrida pela caixa a partir do ponto de lançamento?

Passo 2

Escolha de coordenadas e equações relevantes. Vou usar direção vertical positiva para baixo (assim a distância que a caixa cai é +h) e eixo horizontal no sentido do movimento do avião. A aceleração vertical é a aceleração da gravidade
g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}.
As equações do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) que vamos usar são:
\text{deslocamento vertical:}\quad y=y_0+v_{y0}t+\tfrac{1}{2}a_y t^2,
\text{velocidade vertical:}\quad v_y=v_{y0}+a_y t,
\text{movimento horizontal (sem aceleração):}\quad x=x_0+v_{x0}t.çã
Aqui cada símbolo significa:
y\\ \text{ou}\\ h=\text{deslocamento vertical (m)},\quad v_{y0}=\text{velocidade vertical inicial (m/s)},
a_y=g=\text{aceleração vertical (m/s}^2\text{)},\quad t=\text{tempo (s)},çã
v_{x0}=\text{componente horizontal da velocidade inicial (m/s)},\quad x=\text{deslocamento horizontal (m)}.

Passo 3

Cálculo do tempo de queda (resposta da letra (a)). Como o avião voa horizontalmente, a componente vertical inicial é nula:
v_{y0}=0.
Usando a equação do deslocamento vertical com origem no ponto de lançamento e tomando a distância percorrida vertical como h:
h=\tfrac{1}{2}gt^2.
Isolando t obtemos a fórmula conhecida para queda livre a partir do repouso:
t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
Agora substituímos numericamente:
t=\sqrt{\dfrac{2\cdot 120,0}{9,80}}=\sqrt{\dfrac{240,0}{9,80}}=\sqrt{24,4898\ldots}=4,95\\ \mathrm{s}.
(Arredondei para três algarismos significativos compatível com os dados.)

Passo 4

Cálculo da componente vertical da velocidade ao atingir o solo (etapa intermediária para a letra (b)). Usamos
v_y=v_{y0}+gt.
Como v_{y0}=0,
v_y=g t.
Substituindo os valores:
v_y=9,80\cdot 4,9489\ldots =48,4\\ \mathrm{m/s}
(o sinal indica para baixo no nosso sistema; aqui estou dando o módulo da componente vertical).

Passo 5

Cálculo do módulo da velocidade total ao atingir o solo (resposta da letra (b)). A componente horizontal permanece constante porque desprezamos a resistência do ar:
v_x=v_{x0}=75,0\\ \mathrm{m/s}.
O módulo da velocidade resulta da combinação ortogonal das componentes:
v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
Substituindo números:
v=\sqrt{(75,0)^2+(48,4)^2}=\sqrt{5625,0+2343,\ldots}=\sqrt{7973,\ldots}=89,3\\ \mathrm{m/s}.
(Arredondei para três algarismos significativos.)

Passo 6

Cálculo da distância horizontal percorrida desde o lançamento até o impacto (resposta da letra (c)). Como o movimento horizontal é uniforme,
x=v_{x0}t.
Substituindo v_{x0}=75,0\\ \mathrm{m/s} e t=4,95\\ \mathrm{s}:
x=75,0\cdot 4,9489\ldots =371,2\\ \mathrm{m}.
(Arredondei para três algarismos significativos: 371\\ \mathrm{m}.)

Resposta

t=4,95\\ \mathrm{s}
v=89,3\\ \mathrm{m/s}
x=371\\ \mathrm{m}

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