( 3,0 pontos) Um barco se move sobre a superfície de um rio, de modo que o vetor posição em função do tempo é descrito como
onde a posição é medida em metros e o tempo em segundos.
(a) ( 1,0 ponto) Calcule a posição do barco no instante de tempo
.
(b) ( 1,0 ponto) Determine o vetor velocidade instantânea e seu respectivo módulo em
.
(c) ( 1,0 ponto) Descreva o vetor aceleração do barco e seu respectivo módulo.
(a) ( 1,0 ponto) Calcule a posição do barco no instante de tempo
(b) ( 1,0 ponto) Determine o vetor velocidade instantânea e seu respectivo módulo em
(c) ( 1,0 ponto) Descreva o vetor aceleração do barco e seu respectivo módulo.
Passo 1
O enunciado fornece a lei do movimento do barco e pede três coisas em instantes/valores específicos. Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
onde as posições estão em metros e o tempo em segundos. Perguntas do enunciado:
- (a) Calcular a posição do barco em
. - (b) Determinar o vetor velocidade instantânea
e seu módulo em . - (c) Descrever o vetor aceleração
e seu módulo.
Passo 2
Resolvendo (a): para obter a posição em um tempo específico, substituímos
pelo valor dado nas componentes
e
. As componentes são
Substituindo
em cada componente:
Passo 3
Continuando as contas de (a) passo a passo:
Portanto a posição em
é
Passo 4
Resolvendo (b): para achar a velocidade instantânea tomamos a derivada temporal componente a componente. Lembrete rápido de derivação que vamos usar: a derivada de
(constante) é
; a derivada de
é
; a derivada de
é
. Aplicando isso:
Explicando cada coeficiente: a derivada de
é
; a derivada de
é
; a derivada de
é
; a derivada de
é
; e a derivada de
é
.
Agora avaliamos em
:
Passo 5
Continuando as contas de (b) e calculando o módulo:
Então
O módulo (norma) de um vetor em duas dimensões é dado por
. Aplicando:
Passo 6
Resolvendo (c): a aceleração
é a derivada da velocidade (segunda derivada da posição). Derivando componente a componente em
obtemos coeficientes constantes:
Isso mostra que a aceleração é constante no tempo (vetor constante).
Passo 7
Cálculo do módulo da aceleração: usando
,
Comentário rápido e amigo: temos uma aceleração constante apontando nas componentes negativas
e
, de módulo
. Vai dar tudo certo na prova — pratique substituir, derivar componente a componente e aplicar a fórmula da norma que você já decorou agora!
Resposta
(a)
(b) ;
(c) ;
(b)
(c)