( 3,0 pontos) Um barco se move sobre a superfície de um rio, de modo que o vetor posição em função do tempo é descrito como
\vec{r}(t)=\left(3,0 t-0,20 t^{2}\right) \hat{\imath}+\left(0,60+1,50 t-0,15 t^{2}\right) \hat{\jmath},
onde a posição é medida em metros e o tempo em segundos.
(a) ( 1,0 ponto) Calcule a posição do barco no instante de tempo t=2,00 \mathrm{~s}.
(b) ( 1,0 ponto) Determine o vetor velocidade instantânea e seu respectivo módulo em t=5,00 \mathrm{~s}.
(c) ( 1,0 ponto) Descreva o vetor aceleração do barco e seu respectivo módulo.

Passo 1

O enunciado fornece a lei do movimento do barco e pede três coisas em instantes/valores específicos. Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
\vec{r}(t)=\bigl(3,0\,t-0,20\,t^{2}\bigr)\hat{\imath}+\bigl(0,60+1,50\,t-0,15\,t^{2}\bigr)\hat{\jmath},
onde as posições estão em metros e o tempo em segundos. Perguntas do enunciado:
  1. (a) Calcular a posição do barco em t=2,00\\ \text{s}.
  2. (b) Determinar o vetor velocidade instantânea \vec{v}(t) e seu módulo em t=5,00\\ \text{s}.
  3. (c) Descrever o vetor aceleração \vec{a}(t) e seu módulo.

Passo 2

Resolvendo (a): para obter a posição em um tempo específico, substituímos t pelo valor dado nas componentes x(t) e y(t). As componentes são
x(t)=3,0\,t-0,20\,t^{2}, \qquad y(t)=0,60+1,50\,t-0,15\,t^{2}.
Substituindo t=2,00\\ \text{s} em cada componente:
x(2)=3,0\cdot 2,00 - 0,20\cdot (2,00)^{2},
y(2)=0,60 + 1,50\cdot 2,00 - 0,15\cdot (2,00)^{2}.

Passo 3

Continuando as contas de (a) passo a passo:
x(2)=6,00 - 0,20\cdot 4,00 = 6,00 - 0,80 = 5,20,
y(2)=0,60 + 3,00 - 0,15\cdot 4,00 = 0,60 + 3,00 - 0,60 = 3,00.
Portanto a posição em t=2,00\\ \text{s} é
\vec{r}(2,00)=5,20\,\hat{\imath}+3,00\,\hat{\jmath}\\ \text{(m)}.

Passo 4

Resolvendo (b): para achar a velocidade instantânea tomamos a derivada temporal componente a componente. Lembrete rápido de derivação que vamos usar: a derivada de c (constante) é 0; a derivada de k\,t é k; a derivada de k\,t^{2} é 2k\,t. Aplicando isso:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\bigl(3,0-0,40\,t\bigr)\hat{\imath}+\bigl(1,50-0,30\,t\bigr)\hat{\jmath}.
Explicando cada coeficiente: a derivada de 3,0\,t é 3,0; a derivada de -0,20\,t^{2} é -0,40\,t; a derivada de 0,60 é 0; a derivada de 1,50\,t é 1,50; e a derivada de -0,15\,t^{2} é -0,30\,t.
Agora avaliamos em t=5,00\\ \text{s}:
v_x(5)=3,0-0,40\cdot 5,00, \qquad v_y(5)=1,50-0,30\cdot 5,00.

Passo 5

Continuando as contas de (b) e calculando o módulo:
v_x(5)=3,0-2,00=1,00,
v_y(5)=1,50-1,50=0,00.
Então
\vec{v}(5,00)=1,00\,\hat{\imath}+0,00\,\hat{\jmath}\\ \text{(m/s)}.
O módulo (norma) de um vetor em duas dimensões é dado por \lVert \vec{v}\rVert=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}. Aplicando:
\lVert \vec{v}(5,00)\rVert=\sqrt{(1,00)^{2}+(0,00)^{2}}=\sqrt{1,00}=1,00\\ \text{(m/s)}.

Passo 6

Resolvendo (c): a aceleração \vec{a}(t) é a derivada da velocidade (segunda derivada da posição). Derivando componente a componente em \vec{v}(t)=\bigl(3,0-0,40\,t\bigr)\hat{\imath}+\bigl(1,50-0,30\,t\bigr)\hat{\jmath} obtemos coeficientes constantes:
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\bigl(-0,40\bigr)\hat{\imath}+\bigl(-0,30\bigr)\hat{\jmath}.
Isso mostra que a aceleração é constante no tempo (vetor constante).

Passo 7

Cálculo do módulo da aceleração: usando \lVert \vec{a}\rVert=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}},
\lVert \vec{a}\rVert=\sqrt{(-0,40)^{2}+(-0,30)^{2}}=\sqrt{0,1600+0,0900}=\sqrt{0,2500}=0,50\\ \text{(m/s}^{2}\text{)}.
Comentário rápido e amigo: temos uma aceleração constante apontando nas componentes negativas x e y, de módulo 0,50\\ \text{m/s}^{2}. Vai dar tudo certo na prova — pratique substituir, derivar componente a componente e aplicar a fórmula da norma que você já decorou agora!

Resposta

(a) \vec{r}(2,00)=5,20\,\hat{\imath}+3,00\,\hat{\jmath}\\ \text{m}
(b) \vec{v}(5,00)=1,00\,\hat{\imath}+0,00\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s} ; \lVert \vec{v}(5,00)\rVert=1,00\\ \text{m/s}
(c) \vec{a}(t)=-0,40\,\hat{\imath}-0,30\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}^{2} ; \lVert \vec{a}\rVert=0,50\\ \text{m/s}^{2}

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