(4,0 pontos) Um compressor de ar com massa total de 100 kg opera com velocidade constante de 2000 rpm . A massa desbalanceada é de 4 kg e a excentricidade é de 0,12 \mathrm{~m}. O fator de amortecimento é de 0,15 e a constante de rigidez é de 10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Determine a resposta x(t) do compressor.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a resposta x(t) de um compressor modelado por um sistema massa-mola-amortecedor submetido a uma força de desbalanceamento rotativo. Dados fornecidos (todos os números obrigatoriamente em TeX):
m=100\\ \mathrm{kg},\quad m_u=4\\ \mathrm{kg},\quad e=0{,}12\\ \mathrm{m},\quad \zeta=0{,}15,\quad k=10^{6}\\ \mathrm{N/m},\quad n=2000\\ \mathrm{rpm}.
O que se pede:
  • Escrever a equação do movimento e encontrar a solução completa x(t) (homogênea + particular).
  • Apresentar a resposta em forma explícita (com as constantes numéricas calculadas).
    Não foram dadas condições iniciais; portanto fornecerei a solução geral e também a solução particular para o caso prático comum x(0)=0 e \dot{x}(0)=0.

Passo 2

Montagem do modelo e equação do movimento.
  • A força de desbalanceamento é harmônica de frequência \omega dada por
F(t)=F_0\sin(\omega t),\quad F_0=m_u e \omega^2,
porque uma massa desbalanceada m_u deslocada radialmente por e gera uma força centrífuga m_u e \omega^2 que varia sinusoidalmente.
  • A equação do movimento do SDOF é
m\ddot{x}+c\dot{x}+k x=F_0\sin(\omega t).
  • O fator de amortecimento fornecido \zeta é razão adimensional e relaciona-se com c por
c=2 m \omega_n \zeta,
onde \omega_n é a frequência natural não amortecida:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Vou agora calcular \omega_n, \omega, c e F_0 numericamente.

Passo 3

Cálculos numéricos das constantes do sistema.
  • Frequência natural:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{10^{6}}{100}}=100\\ \mathrm{rad/s}.
  • Frequência de excitação (2000 rpm):
\omega=2000\cdot\frac{2\pi}{60}= \frac{2000}{60}\cdot 2\pi \approx 209{,}44\\ \mathrm{rad/s}.
  • Amortecedor c:
c=2m\omega_n\zeta=2\cdot100\cdot100\cdot0{,}15=3000\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
  • Força de excitação (amplitude):
F_0=m_u e \omega^2=4\cdot0{,}12\cdot(209{,}44)^2.
Calculando:
\omega^2\approx 4386{,}49,\quad F_0\approx 4\cdot0{,}12\cdot4386{,}49\approx 2105{,}52\\ \mathrm{N}.
  • Razão de freqüências (razão de rotação):
r=\frac{\omega}{\omega_n}\approx \frac{209{,}44}{100}=2{,}094395102.
  • Frequência amortecida:
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=100\sqrt{1-0{,}15^2}\approx100\sqrt{0{,}9775}\approx98{,}872\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Solução homogênea (transiente).
Para \zeta<1 o sistema é subamortecido. A solução homogênea da equação sem forçamento é
x_h(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\big(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas). Aqui \zeta\omega_n=0{,}15\cdot100=15, portanto o termo exponencial decai como e^{-15 t}.

Passo 5

Solução particular (regime forçado estacionário): amplitude e fase.
A resposta forçada em regime permanente para F(t)=F_0\sin(\omega t) tem a forma
x_p(t)=X\sin(\omega t-\varphi),
com amplitude X e defasagem \varphi dados por
X=\frac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}
e
\varphi=\operatorname{atan2}(2\zeta r,\;1-r^2),
onde \operatorname{atan2}(y,x) dá o ângulo correto no quadrante apropriado (explico: usamos atan2 para evitar ambiguidade de sinal quando 1-r^2<0).
Vamos calcular numericamente:
  • Primeiro o fator F_0/k:
\frac{F_0}{k}\approx\frac{2105{,}52}{10^{6}}\approx 0{,}00210552\\ \mathrm{m}.
  • Calculando os termos:
1-r^2=1-(2{,}094395102)^2\approx -3{,}386491673,
2\zeta r=2\cdot0{,}15\cdot2{,}094395102\approx0{,}62831853.
  • Denominador da amplitude:
\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}\approx\sqrt{(-3{,}3865)^2+(0{,}62832)^2}\approx\sqrt{11{,}472+0{,}39478}\approx3{,}4449.
  • Assim a amplitude:
X\approx 0{,}00210552/3{,}4449\approx0{,}0006109\\ \mathrm{m}\approx6{,}109\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • A fase (usando atan2 para o par (x,y)=(1-r^2,\;2\zeta r)):
\varphi=\operatorname{atan2}(0{,}62831853,\;-3{,}386491673)\approx2{,}9577\\ \mathrm{rad}\approx169{,}46^\circ.
Interpretação rápida: como r>1 (excitação acima da natural), a resposta está quase em oposição de fase com a força (fase próxima de \pi).

Passo 6

Solução completa x(t) e caso prático com condições iniciais nulas.
  • Solução geral (com constantes arbitrárias C_1,C_2):
x(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\big(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\big)+X\sin(\omega t-\varphi).
Substituindo os valores numéricos calculados:
x(t)=e^{-15 t}\big(C_1\cos(98{,}872\,t)+C_2\sin(98{,}872\,t)\big)+6{,}109\times10^{-4}\sin(209{,}44\,t-2{,}9577).
  • Caso prático: se o sistema é ligado em t=0 a partir do repouso, toma-se x(0)=0 e \dot{x}(0)=0. Podemos calcular C_1 e C_2 explicitamente.
Usando x(0)=C_1+X\sin(-\varphi)=0 e a expressão para \dot{x}(0) (derivando e avaliando em t=0), obtemos:
C_1=X\sin\varphi \approx 1{,}118\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
C_2=\frac{\zeta\omega_n C_1 - X\omega\cos\varphi}{\omega_d}\approx 1{,}291\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Portanto, com condição inicial nula, a resposta completa fica (valores numéricos arredondados a dígitos significativos razoáveis):
x(t)=e^{-15 t}\big(1{,}118\times10^{-4}\cos(98{,}872\,t)+1{,}291\times10^{-3}\sin(98{,}872\,t)\big) +6{,}109\times10^{-4}\sin(209{,}44\,t-2{,}9577).

Resposta

Geral: x(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\big(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\big)+X\sin(\omega t-\varphi),
com
\omega_n=100,\\ \omega=209{,}44,\\ \omega_d\approx98{,}872,\\ c=3000,\\ F_0\approx2105{,}52,
X\approx6{,}109\times10^{-4},\\ \varphi\approx2{,}9577\\ \text{rad}.
Com x(0)=0,\\ \dot{x}(0)=0: x(t)=e^{-15 t}\big(1{,}118\times10^{-4}\cos(98{,}872\,t)+1{,}291\times10^{-3}\sin(98{,}872\,t)\big)+6{,}109\times10^{-4}\sin(209{,}44\,t-2{,}9577).

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