(4,0 pontos) Um compressor de ar com massa total de 100 kg opera com velocidade constante de 2000 rpm . A massa desbalanceada é de 4 kg e a excentricidade é de
. O fator de amortecimento é de 0,15 e a constante de rigidez é de
. Determine a resposta
do compressor.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a resposta
de um compressor modelado por um sistema massa-mola-amortecedor submetido a uma força de desbalanceamento rotativo. Dados fornecidos (todos os números obrigatoriamente em TeX):
O que se pede:
- Escrever a equação do movimento e encontrar a solução completa
(homogênea + particular). - Apresentar a resposta em forma explícita (com as constantes numéricas calculadas).
Não foram dadas condições iniciais; portanto fornecerei a solução geral e também a solução particular para o caso prático comume .
Passo 2
Montagem do modelo e equação do movimento.
- A força de desbalanceamento é harmônica de frequência
dada por
porque uma massa desbalanceada
deslocada radialmente por
gera uma força centrífuga
que varia sinusoidalmente.
- A equação do movimento do SDOF é
- O fator de amortecimento fornecido
é razão adimensional e relaciona-se com por
onde
é a frequência natural não amortecida:
Vou agora calcular
,
,
e
numericamente.
Passo 3
Cálculos numéricos das constantes do sistema.
- Frequência natural:
- Frequência de excitação (2000 rpm):
- Amortecedor
:
- Força de excitação (amplitude):
Calculando:
- Razão de freqüências (razão de rotação):
- Frequência amortecida:
Passo 4
Solução homogênea (transiente).
Para
o sistema é subamortecido. A solução homogênea da equação sem forçamento é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas). Aqui
, portanto o termo exponencial decai como
.
Passo 5
Solução particular (regime forçado estacionário): amplitude e fase.
A resposta forçada em regime permanente para
tem a forma
com amplitude
e defasagem
dados por
e
onde
dá o ângulo correto no quadrante apropriado (explico: usamos atan2 para evitar ambiguidade de sinal quando
).
Vamos calcular numericamente:
- Primeiro o fator
:
- Calculando os termos:
- Denominador da amplitude:
- Assim a amplitude:
- A fase (usando atan2 para o par
):
Interpretação rápida: como
(excitação acima da natural), a resposta está quase em oposição de fase com a força (fase próxima de
).
Passo 6
Solução completa
e caso prático com condições iniciais nulas.
- Solução geral (com constantes arbitrárias
):
Substituindo os valores numéricos calculados:
- Caso prático: se o sistema é ligado em
a partir do repouso, toma-se e . Podemos calcular e explicitamente.
Usando
e a expressão para
(derivando e avaliando em
), obtemos:
Portanto, com condição inicial nula, a resposta completa fica (valores numéricos arredondados a dígitos significativos razoáveis):
Resposta
Geral:
com
Com
: