pontos
Determine
e
de um sistema amortecido com os seguintes parâmetros:
e k
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
e
de um sistema amortecido e fornece os seguintes dados:
As perguntas são, explicitamente:
Passo 2
Vamos começar apresentando a fórmula para a frequência natural não amortecida
. Esta fórmula vem da equação do movimento linearizada para um sistema massa-mola sem amortecimento e é
Aqui:
-
é a frequência natural em radianos por segundo ( ), -
é a rigidez da mola em , -
é a massa em .
Essa fórmula significa: quanto mais rígida a mola (maior) ou menor a massa (menor ), maior a frequência de vibração natural.
Passo 3
Agora aplico os valores dados na fórmula de
:
Faço a conta passo a passo:
Portanto
Passo 4
A seguir, apresento a fórmula para o coeficiente de amortecimento adimensional
(razão de amortecimento). A definição padrão é
Aqui:
-
é adimensional (sem unidade), -
é o coeficiente de amortecimento em , -
e como antes.
Essa expressão compara o amortecimento realcom o valor de amortecimento crítico . Se o sistema é subamortecido (oscila com decaimento), se é criticamente amortecido, e se é sobreamortecido (sem oscilações).
Passo 5
Vou calcular primeiro o amortecimento crítico
para facilitar a interpretação:
Calculo:
logo
Isso já dá um palpite: como
e
, o sistema provavelmente é sobreamortecido (
). Mas vamos calcular
exatamente.
Passo 6
Agora aplico a fórmula de
com todos os números:
Compute o denominador:
Portanto
Simplificando a fração:
Em forma decimal (usando vírgula conforme solicitado):
Passo 7
Interpretação final (útil para prova):
e
. Como
, o sistema é sobreamortecido — ou seja, não haverá oscilações livres, a resposta decai sem oscilar. (Isso é apenas interpretação extra; as respostas numéricas pedidas foram
e
.)