(2,0 pontos ) Determine \zeta e \omega_{n} de um sistema amortecido com os seguintes parâmetros: m=12 \mathrm{kg}, \mathrm{c}=300 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m} e k =1200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar \zeta e \omega_{n} de um sistema amortecido e fornece os seguintes dados:
m=12\\ \mathrm{kg},\qquad c=300\\ \mathrm{N\cdot s/m},\qquad k=1200\\ \mathrm{N/m}.
As perguntas são, explicitamente:
\text{(1) Encontrar }\omega_{n}\qquad\text{e}\qquad\text{(2) Encontrar }\zeta.

Passo 2

Vamos começar apresentando a fórmula para a frequência natural não amortecida \omega_{n}. Esta fórmula vem da equação do movimento linearizada para um sistema massa-mola sem amortecimento e é
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui:
  • \omega_{n} é a frequência natural em radianos por segundo ( \mathrm{rad/s}),
  • k é a rigidez da mola em \mathrm{N/m},
  • m é a massa em \mathrm{kg}.
    Essa fórmula significa: quanto mais rígida a mola (maior k) ou menor a massa (menor m), maior a frequência de vibração natural.

Passo 3

Agora aplico os valores dados na fórmula de \omega_{n}:
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{1200}{12}}.
Faço a conta passo a passo:
\frac{1200}{12}=100,
\sqrt{100}=10.
Portanto
\omega_{n}=10\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

A seguir, apresento a fórmula para o coeficiente de amortecimento adimensional \zeta (razão de amortecimento). A definição padrão é
\zeta=\frac{c}{2m\omega_{n}}.
Aqui:
  • \zeta é adimensional (sem unidade),
  • c é o coeficiente de amortecimento em \mathrm{N\cdot s/m},
  • m e \omega_{n} como antes.
    Essa expressão compara o amortecimento real c com o valor de amortecimento crítico c_{\text{cr}}=2m\omega_{n}. Se \zeta<1 o sistema é subamortecido (oscila com decaimento), se \zeta=1 é criticamente amortecido, e se \zeta>1 é sobreamortecido (sem oscilações).

Passo 5

Vou calcular primeiro o amortecimento crítico c_{\text{cr}} para facilitar a interpretação:
c_{\text{cr}}=2m\omega_{n}=2\cdot 12\cdot 10.
Calculo:
2\cdot 12=24,\qquad 24\cdot 10=240,
logo
c_{\text{cr}}=240\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
Isso já dá um palpite: como c=300\\ \mathrm{N\cdot s/m} e 300>240, o sistema provavelmente é sobreamortecido ( \zeta>1). Mas vamos calcular \zeta exatamente.

Passo 6

Agora aplico a fórmula de \zeta com todos os números:
\zeta=\frac{c}{2m\omega_{n}}=\frac{300}{2\cdot 12\cdot 10}.
Compute o denominador:
2\cdot 12\cdot 10=240.
Portanto
\zeta=\frac{300}{240}.
Simplificando a fração:
\frac{300}{240}=\frac{30}{24}=\frac{5}{4}.
Em forma decimal (usando vírgula conforme solicitado):
\zeta=\frac{5}{4}=1,25.

Passo 7

Interpretação final (útil para prova): \omega_{n}=10\\ \mathrm{rad/s} e \zeta=1,25>1. Como \zeta>1, o sistema é sobreamortecido — ou seja, não haverá oscilações livres, a resposta decai sem oscilar. (Isso é apenas interpretação extra; as respostas numéricas pedidas foram \omega_{n} e \zeta.)

Resposta

\zeta=1,25\n
\omega_{n}=10\\ \mathrm{rad/s}

Exercícios relacionados